Ejercicio1: a) Sea )(xf definida en ],,[ ba definir función continua lateralmente por derecha en x=a. Dar un ejemplo. 6p b) Definir recta tangent...

a) Sea f(x) definida en [a,b]. Se dice que f(x) es continua lateralmente por derecha en x=a si la función se aproxima a un límite finito cuando x se acerca a a desde la derecha. Un ejemplo de una función continua lateralmente por derecha es f(x)=x2

. La gráfica de f(x) se acerca a un límite finito cuando x se acerca a a=0 desde la derecha.

b) La recta tangente a la curva gráfica de f(x) en el punto (a,f(a)) es la línea que pasa por ese punto y tiene la misma pendiente que la gráfica de f(x) en ese punto. La ecuación de la recta tangente se puede encontrar usando la siguiente fórmula:

y - f(a) = f'(a)(x - a)

donde f′

(a) es la derivada de f(x) en x=a.

c) La regla del producto para dos funciones f(x) y g(x) derivables es la siguiente:

(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Esta regla se puede demostrar usando la definición de derivada. Si f(x) y g(x) son derivables en x=a, entonces podemos escribir:

\lim_{h \to 0} \frac{(f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x))}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(f(x)g(x) + f(x)g'(x)h + f'(x)g(x)h + f'(x)g'(x)h^2) - f(x)g(x)}{h}

Al dividir el numerador y el denominador por h, obtenemos:

\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)g(x) + f(x)g'(x) + f'(x)g(x) + f'(x)g'(x)h}{h}

Al evaluar los límites, obtenemos:

(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Esta es la regla del producto para dos funciones f(x) y g(x) derivables.