Ejercicio 3: a) Sean f y g dos funciones derivables. Deducir la fórmula para la integración por partes. 9p b) ¿Es verdadera que ? En caso...

a) Sean f y g dos funciones derivables. La fórmula para la integración por partes es la siguiente:

\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx

Esta fórmula se puede demostrar usando el siguiente razonamiento:

Sea F(x) una antiderivada de f(x). Entonces, F'(x) = f(x). Por lo tanto, tenemos:

\int f(x)g'(x)dx = \int F'(x)g'(x)dx

Por la regla de la diferenciación de la integral, tenemos:

\int F'(x)g'(x)dx = F(x)g(x) + C

donde C es una constante arbitraria. Por lo tanto, tenemos la fórmula para la integración por partes:

\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx

b) La expresión

\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}

converge a 0. Esto se debe a que la función

\frac{x^2}{e^x}

tiende a 0 cuando x tiende a infinito. Esto se puede ver gráficamente:

[Imagen de la función f(x) = x^2/e^x]

La función f(x) = x^2/e^x es una función decreciente, por lo que su valor siempre está decreciendo. Esto significa que la función f(x) = x^2/e^x se acerca cada vez más a 0 cuando x tiende a infinito.

El teorema que justifica esto es el teorema de la convergencia de las series geométricas. Este teorema establece que si a es un número real tal que |a| < 1, entonces la serie

\sum_{n=0}^\infty a^n

converge a \frac{1}{1-a}. En el caso de la función f(x) = x^2/e^x, el número a es \frac{1}{e}. Por lo tanto, la serie

\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{e}\right)^n

converge a \frac{1}{1-\frac{1}{e}} = e. Esto significa que la función f(x) = x^2/e^x se acerca cada vez más a 0 cuando x tiende a infinito.

c) El valor de

\lim_{x\to\infty}\frac{\cos x}{e^x}

no existe. Esto se debe a que la función

\frac{\cos x}{e^x}

tiende a 0 cuando x tiende a infinito, pero no es constante. Esto se puede ver gráficamente:

[Imagen de la función f(x) = cos x/e^x]

La función f(x) = cos x/e^x es una función periódica, por lo que su valor se repite cada vez que x aumenta en 2π. Esto significa que la función f(x) = cos x/e^x no tiene un límite cuando x tiende a infinito.