Ejercicio 1: a) Dada la matriz A invertible, demostrar que |????−1| = 1 |????|⁄ b) Sea la ecuación matricial Anxn Xnxn = 0nxn, siendo 0nxn la matriz ...

Claro, aquí están las respuestas a tus preguntas:

a) Dada la matriz A invertible, podemos demostrar que |A⁻¹| = 1|A|⁄ usando la siguiente fórmula:

|A⁻¹| = 1|A|⁄

Esta fórmula se puede demostrar usando el hecho de que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de las matrices individuales. En este caso, el producto de matrices es A⁻¹ * A = I, donde I es la matriz identidad. El determinante de la matriz identidad es igual a 1, por lo que podemos escribir:

|A⁻¹| * |A| = |I|

|I| = 1, por lo que podemos reescribir la ecuación anterior como:

|A⁻¹| * |A| = 1

Esto demuestra que |A⁻¹| = 1|A|⁄.

b) Sea la ecuación matricial Anxn Xnxn = 0nxn, siendo 0nxn la matriz nula.

i) No se puede asegurar que, si A es invertible, entonces X=0nxn. Esto se debe a que la ecuación Anxn Xnxn = 0nxn sólo es válida si Xnxn es un vector propio de A con valor propio 0. Si A es invertible, entonces A tiene inversa, y por lo tanto tiene todos los valores propios distintos de 0. Por lo tanto, si A es invertible, entonces Xnxn no puede ser igual a 0nxn.

ii) Para hallar X3x3 para ????3????3 = [

0 0 0

0 1 1

0 1 −1

], podemos usar la siguiente fórmula:

X = (A⁻¹)⁻¹

El inverso de la matriz ????3????3 es igual a:

A⁻¹ = [
1 −1 0
0 1 0
0 0 1
]

Por lo tanto, X3x3 = (A⁻¹)⁻¹ = [

1 1 0

0 1 0

0 0 1

]

c) Dados el siguiente sistema:

x + 3y + z = 1
3x + 2y − 4z = 3
2x + 5y + z^2 = x + 1

Podemos analizar para que valores de  resulta compatible o incompatible; determinado o indeterminado de la siguiente manera:

• Si  = 0, entonces el sistema es compatible y determinado. Esto se debe a que el sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas.
• Si  ≠ 0, entonces el sistema es compatible e indeterminado. Esto se debe a que el sistema tiene tres ecuaciones y cuatro incógnitas. En este caso, el sistema tiene infinitas soluciones.

d) Una alcancía tiene monedas de 50 centavos, 1 peso y 2 pesos. Se sabe que el total contenido es de 64$ y que hay exactamente 58 monedas. ¿Cuántas monedas hay de cada tipo?

El sistema correspondiente es el siguiente:

50m + 100n + 200p = 6400
m + n + p = 58

Podemos resolver este sistema usando la siguiente fórmula:

m = (6400 - 200p) / 50
n = (6400 - 200p) / 100
p = 58

Por lo tanto, hay 128 monedas de 50 centavos, 44 monedas de 1 peso y 1 moneda de 2 pesos.

En caso de ser compatible indeterminado, plantear 3 alternativas de solución válidas para el problema:

• m = 128, n = 44, p = 1
• m = 64, n = 88, p = 1
• m = 0, n = 116, p = 1