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Álgebra y Geometría Analítica 19 de Diciembre de 2018
Recuperatorio del Primer Parcial
Ejercicio 1:
a) Dada la matriz A invertible, demostrar que |𝐴−1| = 1 |𝐴|⁄
b) Sea la ecuación matricial Anxn Xnxn = 0nxn, siendo 0nxn la matriz nula.
i) ¿Puede asegurarse que, si A es invertible, entonces X=0nxn? Justificar la respuesta
ii) Hallar X3x3 para 𝐴3𝑥3 = [
0 0 0
0 1 1
0 1 −1
]
c) Dados el siguiente sistema, analizar para que valores de resulta compatible o incompatible; determinado o
indeterminado.
{
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1
3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 3
2𝑥 + 5𝑦 + 𝛼2 𝑧 = 𝛼 + 1
d) Una alcancía tiene monedas de 50 centavos, 1 peso y 2 pesos. Se sabe que el total contenido es de 64$ y
que hay exactamente 58 monedas. ¿Cuántas monedas hay de cada tipo?
Plantear el sistema correspondiente y resolverlo, obteniendo el conjunto solución. En caso de ser
compatible indeterminado, plantear 3 alternativas de solución válidas para el problema.
Ejercicio 2:
a) ¿Qué entiende por Vector Proyección de u sobre v?
Hallar el o los valores de k para que |𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢| = 6 con �̅� = 𝑘 [
3
1
] , �̅� = [
4
3
]. Graficar.
b) Dados dos vectores �̅�, �̅� ∈ 𝑅𝑛, determinar las condiciones que deben cumplir para poder asegurar que
(�̅� + �̅�) sea ortogonal (perpendicular) con (�̅� − �̅�). Plantear un ejemplo y graficar para R2.
c) Sean los puntos A(3; 1; 2) y B(3; 0; 1). Hallar las posibles coordenadas del punto C(-1; 1; z) para que el área
del triángulo ABC mida 3 unidades cuadradas.
d) Obtener un vector paralelo al plano 𝜋) 3𝑦 − 2𝑧 + 5 = 0 de módulo 4 y que forme un ángulo de /4 con el
vector �̅� = [
3
3
0
]
Ejercicio 3:
a) Sea la ecuación general del plano 𝜋) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, indicar los valores de a, b, c y d que aseguren:
i) Que el plano contenga al eje y. Plantear un ejemplo y graficar.
ii) Que el plano sea perpendicular al eje x. Plantear un ejemplo y graficar.
b) Dado 𝜋) 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 4 = 0 , hallar los planos paralelos que disten 6 u del mismo.
c) Sean los vectores directores 𝑢1̅̅ ̅ = [
1
3
−2
] , 𝑢2̅̅ ̅ = [
−1
−3
2
] , 𝑢3̅̅ ̅ = [
1
0
2
] correspondientes a las rectas R1, R2 y R3,
respectivamente. Responder los siguientes incisos, justificando cada caso:
i) ¿Puede asegurarse que las tres rectas son coplanares?
ii) ¿Puede afirmarse que no lo son?
iii) ¿Puede deducirse que al menos dos de ellas sí son coplanares?
d) Obtener la recta contenida en el plano 𝜋) 𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 + 6 = 0, perpendicular al eje z y que lo corte. De ser
posible, expresar sus ecuaciones paramétricas, simétrica y general.
Clave de corrección:
• Resolver un ejercicio por hoja. Entregar las 3 hojas. No responder en este temario.
• Escribir en cada hoja: Nombre y Apellido, D.N.I., Comisión y Nº de Ejercicio.
• El examen finaliza en 3h.
Ejercicio Nº 1 2 3
Puntaje 6 - 8 – 8 - 8 8 - 8 – 8 – 10 8 – 8 – 10 -10
