RESUMEN 1ER AÑO-MEDICINA (8)

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Universidad Nacional del Litoral 
Facultad de Bioquímica y Ciencias Biológicas 
Departamento de Matemática 
 
 
 
 
MATEMÁTICA GENERAL – Bioquímica y Lic. En Biotecnología 
 
GUÍAS DE TRABAJOS PRÁCTICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2020 
 
Universidad Nacional del Litoral 
Facultad de Bioquímica y Ciencias Biológicas 
Departamento de Matemática 
 
Cronograma de Trabajos Prácticos 
 
Semana Tema TP 
1 
Sistemas de mxn, (Homog. y no homog.) 
Eliminación gaussiana. 
TP Introductorio, 1.3(1), 1.4(1) 
2 Matrices, operaciones y sistemas 1.5(1), 1.6(1), 1.7(1), Guía A 
3 Inversa - Transpuesta Guía A, 1.8(1), 1.9(1) 
4 Determinantes 2.1(1), 2.2(1), 2.4(1), Guía B 
5 Sin actividad 
6 
Determinantes: propiedades y sistemas – 
Cónicas 
Guía B, Guía C 
7 Cónicas - Trigonometría Guía C, Guía D 
8 Trigonometría Guía D, Repaso 
9 Vectores en R2 y R3 3.1(1), 3.2(1), 3.3(1), 3.4(1), Guía E 
10 Rectas en el espacio y plano 3.5(1), Guía F 
11 Recta en el espacio y plano - Funciones Guía F, Cap. 2(2), Cap. 3(2) 
12 Funciones Cap. 3(2), Cap. 4(2), Cap. 5(2) 
13 Funciones - Coordenadas polares 8.1(2), 8.2(2), Guía G 
14 Límite 2.2(3), 2.3(3), 2.5(3) 
15 Límite y continuidad 2.4(3), Guía H 
(1) Grossman, S. – “Álgebra lineal” (6° Edición) 
(2) Stewart, J. – “Precálculo. Matemáticas para el cálculo” (6° Edición) 
(3) Stewart, J. – “Cálculo. Conceptos y contextos” (2001) 
 
 
 
 
 
 
 
Universidad Nacional del Litoral 
Facultad de Bioquímica y Ciencias Biológicas 
Departamento de Matemática 
 
Ejercicios seleccionados por sección 
Grossman, “Álgebra lineal” 
Sección Resolver antes del TP En TP 
1.3 2, 4, 8, 25 13, 15, 23, 49 (sólo plantear), 53 
1.4 4, 7 5, 10, 14 
1.5 9, 13, 25 al 28, 32, 39, 52, 54 41, 60 (considerar tamaño 3x2) 
1.6 2, 5, 7, 11, 14, 19, 25 9, 10, 16, 22, 23, 29, 30, 53, 54, 55 
1.7 2, 4, 5 20 
1.8 7, 8, 14 16, 22, 24, 58 
1.9 5, 7, 11, 22, 23 16, 17, 19, 25 
2.1 5, 11 8, 13, 16, 17 
2.2 42 36, 40, 41 
2.4 19, 20 --- 
3.1 2, 8, 11, 14, 16, 19, 22, 24, 27, 37, 43, 45 5, 34, 42 
3.2 2, 10, 13, 14, 16, 25, 31, 34 6, 8, 11, 21, 41 
3.3 2, 5, 18, 28, 37, 40, 43, 45, 47 12, 24, 25 
3.4 2, 17, 26, 32 5, 15, 28, 29, 30 
3.5 2, 5, 7, 10, 12, 15, 18, 21, 26, 29, 40, 42, 45, 51, 54, 61 20, 22, 23, 59, 75 
 
Stewart, “Precálculo” 
Sección Resolver antes del TP En TP 
2.1 Conceptos, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 20, 26, 28, 30, 32, 34, 54, 57 29, 44, 46, 49, 56 
2.2 Conceptos, 4, 45, 53, 54, 55, 56 36, 39, 44, 50 
2.3 Conceptos, 7, 19, 22, 49 6, 8, 44 
2.5 conceptos, 6, 8, 22, 26, 48, 62, 78, 83, 84 9, 15, 28, 32, 50, 59, 76, 82, 85 
2.6 Conceptos, 11, 24, 33 14, 22, 27, 29, 42, 49 
2.7 Conceptos, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 16, 28 14, 17, 18, 22, 26 
3.2 Conceptos, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 24, 33 6, 18, 20, 31 
3.7 Conceptos, 34, 35 36, 37 
4.1 Conceptos (1 al 3), 6, 17, 23, 24, 34, 48 16, 27, 28, 36, 47 
4.2 4, 8, 9, 12, 21 14, 20 
4.3 Conceptos, 49, 50, 57, 58, 61 53, 56, 62 
5.3 Conceptos, 8, 11, 13, 14, 39, 46, 79 7, 15, 23, 24, 32, 44 
8.1 3, 4, 6, 7, 9, 13, 28, 31, 36, 38, 44, 49 45, 49-51, 56, 58, 61 al 63 
8.2 --- 3 al 8 
 
 
 
Universidad Nacional del Litoral 
Facultad de Bioquímica y Ciencias Biológicas 
Departamento de Matemática 
 
Stewart, “Cálculo” 
Sección Resolver antes del TP En TP 
2.2 6, 8, 12 1, 2, 5, 10 
2.3 2, 12, 13, 17, 21 1, 10, 15, 18, 29 
2.4 12, 14, 22, 23, 29 1 al 3, 6, 27, 33, 35, 42 
2.5 8, 10, 22, 23, 40, 42 4, 6, 17, 19, 41 
 
Facultad de Bioqúımica y Ciencias Biológicas - UNL - Matemática General
Bioqúımica y Licenciatura en Biotecnoloǵıa
Gúıa TP Introductorio: Sistemas de Ecuaciones Lineales 2×2
Bibliograf́ıa de referencia: “Álgebra Lineal”(S. Grossman) 6ta. Edición - Sección 1.1,1.2 y “Precálculo”(J.
Stewart) 6ta ed. - Sección 10.1
1) Obtener la ecuación de la recta que se muestra en la siguiente gráfica.
2) Para cada una de las gráficas, se pide:
a) Escribir un sistema 2× 2.
b) Clasificar el sistema sin resolverlo.
i) ii) iii)
3) Dado el sistema
 2x1 − 6x2 = 4−4x1 + 12x2 = −8 , se pide
a) Determinar cuál/es de los siguientes pares (x1, x2) son soluciones del sistema: (5, 1), (1, 5), (−4,−2).
b) Según la respuesta dada en el inciso anterior, ¿puede clasificar el sistema sin resolverlo?
4) Resolver y clasificar los siguientes sistemas. Verificar gráficamente, indicando las variables dependiente e
independiente que considera en cada caso.
a)
 x− y = 14x+ 3y = 18 b)
 8θ − 2ω = 5−12θ + 3ω = 7 c)
 r = 5s− 1r = −s+ 2 d)
 h− t = 42h+ t = 2
1
2
5) Dada la ecuación x+ y = 1, se pide:
a) Escribir una segunda ecuación de manera tal que el sistema 2x2 resultante sea Compatible Determi-
nado.
b) Escribir una segunda ecuación de manera tal que el sistema 2x2 resultante sea Compatible Indeter-
minado.
c) Escribir una segunda ecuación de manera tal que el sistema 2x2 resultante sea Incompatible.
6) A partir del siguiente enunciado, escribir un sistema de ecuaciones lineales 2×2 que describa el problema
y resolverlo.
En un experimento nutricional con ratas de laboratorio, un grupo se alimenta con 32 unidades diarias
de niacina y 22000 de retinol, utilizando dos tipos de alimentos comerciales. El alimento A contiene 0,12
unidades de niacina y 100 de retinol, por gramo, mientras que el alimento B contiene por gramo, 0,20
y 50 unidades de niacina y retinol, respectivamente. ¿Cuántos gramos de cada alimento se usan por d́ıa
para el experimento?
3
Gúıa A: Sistemas de ecuaciones
1) Plantee un sistema de ecuaciones que describa la relación entre las incógnitas de los siguientes problemas
cuya resolución le permitiŕıa responder la pregunta planteada. NO RESUELVA EL SISTEMA.
a) Mariana tiene 51 billetes en su billetera. Sólo tiene billetes de 50 pesos, de 20 pesos y de 10 pesos. La
cantidad de billetes de 10 pesos es el doble de la cantidad de billetes de 20 pesos. En total tiene 1230
pesos. ¿Cuántos billetes de 50 pesos tiene Mariana en su billetera?
b) En una libreŕıa venden cada caja de lápices a $10, cada caja de marcadores a $12 y cada caja de
crayones a $8. En total hay 192 cajas y si se vendieran todas las cajas, se obtendŕıan $1852. Si hubiera
la misma cantidad de cajas de lápices, el doble de cajas de marcadores y el doble de cajas de crayones,
habŕıa en total 324 cajas. ¿Cuántas cajas de cada tipo hay en la libreŕıa?
2) a) Indique, en cada caso, si el vector x dado es solución del sistema Ax = b.
i) A =

2 0 1
−1 2 3
5 −1 0
 ; b =

0
2
−2
; x =

0
1
0
.
ii) A =

1 3 1 3
−1 2 3 1
0 −1 0 4
 ; b =

9
−1
12
; x =

1
0
−1
3
.
iii) A =

3 −1 1 2
1 1 −1 −1
1 1/2 2 7
4 2 8 1/10
 ; b = 04×1; x =

1
2
−1
0
.
iv) A =

2 −1 0 −2
−1 1 1 3
0 0 2 11
6 1/7 8 0
4 −2 8 10

; b = 05×1; x = 04×1.
b) Sin resolver, clasificar, si es posible, cada uno de los sistemas dados según el número de soluciones. Si
no es posible explique por qué.
3) a) Plantee un sistema de ecuaciones que admita a

1
1
2
 como solución. Justifique.
b) Plantee un sistema de ecuaciones homogéneo que admita a

−1
2
1
 como solución. Justifique.
4) Dados M =

1 3 1
0 2 3
0 0 0
; N =

1 3 1
0 2 3
0 0 −1
; b =

1
2
1
 y c =

1
2
0
 se pide:
a) Escribir el conjunto solución del sistema Mx = 0.
b) Clasificar el sistema Mx = b.
4
c) Escribir el conjunto solución del sistema Nx = 0.
d) Clasificar el sistema Nx = c y escribir el conjunto solución.
5) Dados A =

2 1 −1
2 4 0
0 3 1
 y x1 =

−2
1
−3
 se pide:
a) Calcular Ax1.
b) Sin resolver, clasificar el sistema Ax = 0.
6) Indique por qué son falsas las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema C1x = 0 es compatible indeterminado, entonces C1x = b, para todo b 6= 0, es compatible
indeterminado.
b) Si x1 es solución del sistemaC2x = 0, entonces x1 = 0.
7) Dados A =

1 3 3
1 2 3
0 −1 0
 y b =

2
3
1
 se pide:
a) Indicar si

2
−1
1
 es solución del sistema Ax = b.
b) Resolver Ax = 0.
c) Sin resolver, clasificar el sistema Ax = b y escribir el conjunto solución.
8) En los siguientes ejercicios, dada la matriz ampliada de un sistema de la forma Ax = b, determinar, si
existen, el/los valores del parámetro k tal que:
a) El sistema resulte compatible determinado:
1 0 3 1
0 1 1 2
0 0 1 k − 1
0 0 0 0

b) El sistema admita soluciones no triviales:
1 −3/2 5/2 0
0 1 3/11 0
0 1 (−4/5)(1/4k − 5/2) 0

c) El sistema posea, al menos, una solución:
0 1 1 k + 1 0
1 0 3 −1 0
0 0 0 0 2

d) El sistema resulte inconsistente: 
2 1 0 0
0 −3 2 0
0 0 0 −2k+12

9) Halle la matriz E que verifica A2 − 3BC +E = ∅, donde A =
 2 3
−1 2
 , B =
 0 1/2
−1 2
 y C =
 −1 1
0 1
 .
5
Gúıa B: Sistemas de ecuaciones, inversa y determinante
1) Sin realizar ningún cálculo indique por qué la matriz A =

1 0 −1 0
−3 4 1 4
1 3 2 2
 no admite inversa.
2) Indique si la matriz M =

1 0 −1
3 −4 1
1 3 2
 es la inversa de la matriz N =

1 0 2
0 1 3
1 0 2
.
3) Sabiendo que la matriz A =

1 0 −1
−3 4 1
1 3 2
 es invertible, resuelva:
a) A−1x =

3
0
−1

b) (A−1)tx =

3
0
−1

4) Sean A, B y C matrices cuadradas de igual orden tales que Ax = 0 es compatible determinado. Halle la
matriz E que soluciona la ecuación matricial A(BC − EA) = B2. ¿Para qué utilizó la hipótesis Ax = 0
es compatible determinado?
5) Muestre que las siguientes afirmaciones son verdaderas:
a) Sean A y B matrices cuadradas de n×n. Si el sistema (AB)x = 0 es compatible determinado, entonces
Ax = 0 es compatible determinado.
b) Sean M una matriz cuadrada de orden n y b 6= 0. Si el sistema Mx = b es incompatible, entonces
Mx = 0 es compatible indeterminado.
6) Halle, en cada caso, los valores de α que verifican lo pedido:
a) α tal que |M | = 3 con M =

2 7/4 α
1 1 4
3 α 0
;
b) α tal que Bx =

1
0
−2
 sea compatible determinado con B =

2 1 3
7/4 1 α
α 4 0
 .
7) Clasifique los siguientes sistemas según el número de soluciones que admiten, sabiendo que A y B son
matrices de orden 3 tales que |A| = 2 y |B| = 0:
a) Atx = 0 b) BAx = 0 c) A2x =

0
1
4
.
8) Resuelva las siguientes actividades sabiendo que A, B y C son matrices cuadradas de orden 4 tales que
|BA| = 0 y (CB)x = 0 es compatible determinado:
a) Calcule |A|.
6
b) Clasifique el sistema Btx =

3
3
3
3
 según el número de soluciones que admite.
c) Si le dijeran que la matriz C es invertible, ¿lo creeŕıa? Justifique.
9) Determine los valores de a y b para los cuales M es la inversa de N , donde
M =

1 −2 a
0 1 b
−1 1 1
 y N =

0 1 −1
−1/4 3/4 −1/4
1/4 1/4 1/4
 .
10) Sean A y B matrices cuadradas de orden 4. Sabiendo que |AB| = 2 y |B−1| = 3, se pide:
a) Hallar |A| y | −B|.
b) Si en el inciso anterior le dijeran que B es la inversa de la matriz A, ¿lo creeŕıa? Justifique.
11) Dados A =

1 1 1
2 −1 3
4 1 5
 y b =

1
2
4
, se pide:
a) Resuelva y clasifique el sistema Atx = b.
b) Sabiendo que Ax1 =

1
−1
1
 y Ax2 =

0
3
3
 para ciertos x1 y x2, ¿es cierto que x1 +x2 es solución
del sistema Ax = b?
c) Con la información obtenida en el item a), clasifique el sistema Ax = 0.
7
Gúıa C: Cónicas
1) Identifique cada una de las siguientes cónicas. Grafique e indique todos sus elementos.
a)
(x− 3)2
16
+ (y + 3)2 = 1
b)
(y − 1)2
25
− (x+ 3)
2
4
= 1
c) (y + 5)2 = −6x+ 12
d)
(x− 2)2
9
+
y2
9
= 1
2) Encuentre la ecuación canónica para cada una de las cónicas cuya gráfica se muestra.
a) b) c)
3) Halle la ecuación canónica de la elipse cuyos vértices tienen coordenadas (0, 2) y (4, 2) y su eje menor
tiene longitud 2.
4) Escriba la ecuación canónica de la parábola con foco en el punto (-3; 1) y directriz x = 1. Grafique.
5) Halle la ecuación canónica de la hipérbola en la cual (1, 0), (1, 2) y (1, 4) son las coordenadas del centro,
un vértice y un foco, respectivamente.
6) Encuentre la ecuación canónica de la circunferencia que tiene centro en (2,−3) y es tangente al eje de
abscisas.
7) Halle la ecuación canónica de la elipse que pasa por el punto (3, 1) y tiene sus focos en (4, 0) y (−4, 0).
8) Halle la ecuación de la circunferencia de radio 5 que tiene su centro en el punto de intersección de la
rectas x+ 3y + 3 = 0 y x+ y + 1 = 0.
9) Halle la ecuación canónica de la parábola con eje de simetŕıa paralelo al eje x y que pasa por los puntos
(0, 0), (4,−2) y (3,−3).
10) Identifique el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican cada una de las siguientes ecuaciones:
a) x2 + 4y2 − 6x+ 16y + 21 = 0
b) y2 − 8y − 8x = 0
c) 9x2 + 63x− 4y2 + 16y + 61 = 0
d) 25x2 − 10x− 200y − 119 = 0
e) 4x2 + 4y2 − 16y + 15 = 0
8
f) 4x2 − y2 − 4x− 3 = 0
g) 9x2 + 9y2 − 36x+ 6y + 34 = 0
h) 2x(x− y) = y(3− y − 2x)
i) 3x2 − 6x− 2y2 − 4y = 5
j) y2 − 4y = x+ 5
11) En cada caso, determine el conjunto de los valores de k tales que el lugar geométrico de los puntos del
plano que satisfacen
4
9
(x− 2)2 + (y + 1)
2
k
= 1 sea la cónica indicada:
a) Circunferencia. Indique su centro y radio.
b) Elipse de vértices (2, 2) y (2,−4).
c) Hipérbola con eje transversal horizontal.
12) Dada la ecuación
x2
4
+
y2
k
= 1, indique la cónica resultante para: i) k = 4; ii) k ∈ (0, 4).
13) Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.
a) El centro de la circunferencia de ecuación x2 + y2 − 2x+ 4y + 1 = 0 es (−1, 2).
b) Las aśıntotas de la hipérbola
(y − 2)2
9
− (x− 4)
2
25
= 1 tienen ecuación y = ±9
5
x.
14) Dada la ecuación de la cónica, coloque la escala en la gráfica dada e indique las coordenadas de los puntos
P y Q.
a)
(x+ 1)
4
2
+ 4y2 = 1 b) 9x
2 + 4y2 = 1
9
Gúıa D: Trigonometŕıa
1) Expresar en radianes los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales:
a) α = 45◦
b) β = 72◦
c) δ = 35◦40 ′
2) Expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:
a) α = π4
b) χ = 4π3
c) ϕ = 3, 6
3) Encontrar la longitud del arco de una circunferencia de radio 8cm y cuyo ángulo central que subtiene es
de 48◦.
4) Indicar el valor, en radianes, del ángulo central subtendido por un arco dado de longitud 7cm en una
circunferencia de 4cm de radio.
5) Calcular las demás razones trigonométricas:
a) senα = 45 ; 0 ≤ α ≤
π
2 .
b) cosα = 15 ; 0 ≤ α ≤
π
2 .
c) tgα = −2; π2 ≤ α ≤ π.
6) Calcular el valor de x en el intervalo que se indica:
a) cosx = 0, 5 ; 0 ≤ x ≤ 2π.
b) senx cosx = 0; 0 ≤ x ≤ π.
c) tg2 x− 2 tg x+ 1 = 0 ; 0 ≤ x ≤ π2 .
d) senx+ 12 = − cos
2 x ; π ≤ x ≤ 2π.
e) 4 cos2 x− 3 = 0 ; 0 ≤ x ≤ 3π2 .
f) 3 cos 2x = 2 ; para todo x real.
7) Aplicar las relaciones que vinculan las razones trigonométricas para:
a) calcular sen 48◦ y tg 48◦ sabiendo que sen 42◦ = 0, 669.
b) calcular los ángulos de un triángulo rectángulo sabiendo que la tangente de uno de ellos es igual a la
cotangente del mismo.
c) calcular tg(−25◦) y tg 155◦ sabiendo que la tg 205◦ = 0, 466.
d) calcular el valor x tal que cosα =
x+ 3
5
y cosβ =
2x+ 1
5
, sabiendo que α y β son ángulos comple-
mentarios.
10
Para resolver algunos de los problemas que se proponen a continuación se enuncian dos teoremas
relacionados con triángulos oblicuángulos:
Teorema del seno: Dado un triángulo ABC con medidas de los lados opuestos a los ángulos α, β y γ
iguales a a, b y c respectivamente, entonces
senα
a
=
senβ
b
=
sen γ
c
.
Teorema del coseno: Dado un triángulo ABC con medidas de los lados opuestos a los ángulos α, β
y γ iguales a a, b y c respectivamente, entonces valen las siguientes igualdades:
a2 = b2 + c2 − 2 b c cosα,
b2 = a2 + c2 − 2 a c cosβ y
c2 = a2 + b2 − 2 a b cos γ.
8) Desdetiempos antiguos se ha observado que la luz se refracta o se ‘dobla’ al pasar de un medio a otro
(de aire al agua, por ejemplo). Si v1 es la velocidad de la luz en un medio y v2 es la velocidad de la luz
en otro medio, entonces, de acuerdo con la ley de Snell,
sen θ1
sen θ2
=
v1
v2
,
donde θ1 es el ángulo de incidencia y θ2 es el ángulo de refrac-
ción (ver figura). El número v1v2 recibe el nombre de ı́ndice de
refracción. Si un rayo de luz pasa por la superficie de un lago
con un ángulo de incidencia de 70◦ y la velocidad del haz en el
aire es 43 mayor que la velocidad en el agua, ¿cuál es el ángulo de
refracción?
9) Un péndulo de 600mm de longitud oscila un ángulo de 12 ◦ a cada lado de la vertical. Calcule el movi-
miento vertical del extremo inferior del péndulo.
10) Un terreno en el centro de Santa Fe está valuado en $ 6300 el metro cuadrado. ¿Cuál es el valor de un
lote triangular con lados de logitudes 19, 25 y 30 metros?
11) Como se muestra en la figura, un teleférico transporta pasajeros desde el punto A que está a 1,2 millas del
punto B, que se halla en la base de una montaña, hasta el punto P en la cima de la misma. Los ángulos de
11
elevación de P desde A y B son 21◦ y 65◦, respectivamente. Se pide:
a) calcular la distancia entre A y P;
b) calcular la altura de la montaña.
12) Dada la matriz A =

0 13 senα
2
3 cosα
2 0 0
0 − cosα 2 senα
, muestre que el sistema Ax = b tiene solución única para todo
α ∈ R.
13) Dada la matriz B =

senβ 0 1
0 1
√
3
cosβ 1 0
, con β ∈ [0, 2π], encuentre el o los valores de β para los cuales el
sistema Bx = c posee infinitas soluciones.
14) Sean M =

1 sen t+ cos t cos t
0 cos t 0
cos t −2 1
 y b =

2
sen t
2
. Indique los valores de t ∈ [0, π] tales que el sistema
Mx = b sea:
a) compatible determinado;
b) compatible indeterminado;
c) incompatible.
12
Gúıa E: Vectores
1) Dados los vectores ~u = (1,−2,−1) y ~v = (0,−1, 3), halle, si existe, el valor de k ∈ R tal que el vector
~w = (−k, 0, 2k + 6) resulte ortogonal al vector 2~u− ~v.
2) Dados los vectores ~u = (1, 2, α) y ~v = (β,−1, 2), halle todos los valores posibles de α y β tales que:
i) ~u y ~v resulten ortogonales.
ii) ~u+ ~v = (0, 1,−2).
3) Indique por qué la siguiente afirmación es FALSA: Existen vectores ~u y ~v en R3 tales que ~u es ortogonal
a ~v y el ángulo ϕ que forman es tal que senϕ = 12 .
4) Sean ~u y ~v dos vectores no nulos tales que 2|~u| = |~v| y tal que el vector ~u − ~v es perpendicular a ~u .
Encuentre el ángulo entre ~u y ~v .
5) Sean ~u,~v ∈ R3 y θ el ángulo que forman. Sabiendo que ~v es unitario, el producto escalar entre ~u y ~v es 2
y sen θ = 1/2, calcule |~u|.
6) Sean ~u y ~z dos vectores en R2, de igual módulo. Sabiendo que el resultado de su producto escalar es 2, y
que el vector que se obtiene al sumarlos tiene módulo 3, encuentre la magnitud de los mismos y el ángulo
que forman entre śı.
7) Halle ~u ∈ R2 tal que |~u| = 1, ~u · ~v = 1 siendo ~v = 2~i+~j.
8) Dados los vectores ~F1 y ~F2 en la figura, se pide:
a) Hallar el ángulo que forman ~F1 y ~F2.
b) Calcular la fuerza resultante ~F1 + ~F2.
13
Gúıa F: Recta y plano
1) Dado el plano π : x+ 2y + z = 6 indique:
a) ¿Cuántas rectas contenidas en el plano existen?;
b) la ecuación paramétrica de una de estas rectas.
2) Decida, en cada caso, si existe un plano que contiene a las rectas dadas. En caso afirmativo, encuéntre
su ecuación:
a) `1 : x− 1 = y − 2 = z − 3 y `2 : x = 1;
y − 2
2
=
z − 3
4
.
b) s1 : x− 1 = y − 2 = z − 3 y s2 :

x = 2k,
y = −k,
z = k,
con k ∈ R
c) r1 :

x = 2t,
y = −t,
z = t,
con t ∈ R y r2 : x = 3;
y − 2
4
=
z − 1
5
.
3) Halle la ecuación general del plano π que contiene a la recta ` : x − 1 = y − 2 = z − 3 y al punto
Q = (4, 6, 1)
4) Halle la ecuación paramétrica de la recta ` que pasa por (3,−1, 2) y es paralela al eje y.
5) Indique si las rectas `1 :

x = −3 + 5t,
y = 1 + t,
z = −3 + 4t,
t ∈ R, y `2 : x− 1 =
y + 6
3
=
z
−2
son ortogonales.
6) Dadas las rectas `1 :

x = 2− 2t,
y = −1− t,
z = 1 + 3t,
y `2 :
x
2
=
y
−1
= z, se pide:
a) Indicar si las rectas se cortan en un punto. Si es aśı, indicar las coordenadas del mismo.
b) Hallar, si es posible, la ecuación del plano π que contiene a `1 y `2. En caso de no ser posible, indicar
por qué.
7) Dados el plano π1 : 3x+ 2y − z = 5 y la recta `1 : x− 1 =
y − 2
−3
= z − 4, se pide:
a) Hallar el plano π2 paralelo a π1 que contiene al punto P = (1, 3, 1);
b) Hallar la ecuación de la recta `2 sabiendo que
pasa por el punto de intersección de `1 y π1;
es ortogonal a los vectores ~u = (−2, 4, 8) y ~v = (5, 1, 0).
8) Determine si los planos π1 : 3x− y+ z− 1 = 0 y π2 : y−x− z = 2 son paralelos, perpendiculares o nada.
Si determina que se intersecan, encuentre el vector director de la recta que resulta de tal intersección.
14
9) a) Determine si los planos

π1 : 2x+ y + z = 1
π2 : x+ 3y + 3z = 3
π3 : x+ y + z = 1
se intersecan en un punto.
b) ¿Es cierto que la recta ` :

x = 1− t
y = −1 + t
z = 5 + t
y el plano π1 son ortogonales?
10) Dados el plano π : x− 2y+ 1 = 0 y la recta r :
 x− 3y + z = 0x− y + az + 2 = 0 , halle el valor de a sabiendo que
la recta está contenida en el plano.
11) Dada la recta r :

x = −1 + 3s,
y = −s,
z = 2− s,
, s ∈ R, se pide:
a) Hallar la ecuación del plano que contiene al punto (2,−1, 1) y es perpendicular a la recta r.
b) Determinar si la recta r interseca al plano 2x − y + z = 12. En caso afirmativo, calcular el punto de
intersección.
c) Determinar el valor de a para el cual la recta ` :
 x+ 2y + z = −1,ax− 4y + z = 2, es paralela a la recta r.
12) Halle la ecuación de la recta r que pasa por el punto (1, 0,−1), es perpendicular a la recta ` :
 x+ z = 1x+ 2y + z = 3
y paralela al plano π : x− y + 3z = 8.
13) Escriba la ecuación de la recta perpendicular al plano coordenado yz que pasa por el origen de coorde-
nadas.
14) Halle la ecuación de la recta r que pasa por el punto (1, 0,−1) y es perpendicular al plano coordenado
xy.
15) Escriba la ecuación del plano paralelo al plano coordenado xz que contiene al punto (2,−1,−1).
15
Gúıa G: Funciones y coordenadas polares
1) Pase la función r(θ) =
1
1 + sen(θ)
dada en coordenadas polares a coordenadas rectangulares e identifique
la cónica resultante.
2) En cada uno de los siguientes incisos, escriba una función que verifique lo pedido. Justifique cada una de
sus respuestas.
a) función periódica con peŕıodo 4π;
b) función que posee, al menos, tres ceros reales. Ind́ıquelos;
c) función que posee una aśıntota horizontal en y = 2;
d) función creciente sobre todo su dominio.
3) Dada la gráfica de una función f , se pide:
a) Indicar los intervalos de positividad y negatividad.
b) Indicar la intersección con los ejes coordenados.
c) Indicar si hay aśıntotas (verticales y horizontales).
d) ¿2 ∈ Imagen de f?
e) ¿Es f una función uno a uno? ¿Por qué?
f) Representar gráficamente las funciones g(x) = −f(x) y
h(x) = f(−x).
4) Escriba la función trigonométrica que resulta de aplicar las siguientes modificaciones sobre la función
cos(x): amplitud 3, peŕıodo π/2, ángulo de fase inicial (defase) π y traslación vertical dos unidades hacia
abajo.
5) a) Indique las coordenadas polares de los puntos cuyas coordenadas rectangulares son A = (1,
√
3) y
B = (−6, 0), considerando r > 0 y 0 ≤ θ ≤ 2π.
b) Relacione las ecuaciones polares con las gráficas dadas: c1) r = 1 + sen(3θ); c2) r = −1 + 2 cos θ; c3)
r = −1 + cos θ.
6) Represente gráficamente la función y = 12 sen(4x) + 2 e indique su peŕıodo, amplitud, frecuencia y ángulo
de fase inicial.
16
7) Dada la gráfica de la función f(x), se pide:
a) Determinar el dominio y conjunto imagen.
b) Evaluar, si es posible, f(1), f(2) y f(0).
c) Determinar el/los valor/es de x cuya imagen es igual a -1.
d) ¿Es cierto que lafunción f es creciente en el intervalo (1,+∞)?
Justifique.
e) Calcular f(f(−1)).
f) Esbozar la gráfica de las funciones g(x) = f(x − 1) + 2 y
h(x) = −f(x)− 1.
8) Dada la gráfica de la función
f(x) =

−x2 − x+ 1, −3 < x < c
ax, c < x ≤ d
1
x−b , x > 1
,
se pide:
a) Encontrar los valores de a, b, c y d en la expresión de f(x).
b) Determinar las intersecciones con los ejes coordenados.
c) Determinar el/los valor/es de x cuya imagen es igual a 3.
(0, 0)
(0, 1)
(-3, -5)
(1, 3)
(-1, 1) (2, 1)
9) Pase a coordenadas rectangulares las siguientes ecuaciones y grafique.
i) r =
2
1− cos θ
ii) r = 4 sen θ iii) r(5 cos θ + 3 sen θ) = 6
10) a) Halle, si es posible, el valor de k1 para que la función f1(x) =
8
x+ 2
+k1 tenga una aśıntota horizontal
en y = 3. Justifique.
b) Halle, si es posible, el valor de k2 6= 0 para que la función f2(x) = k2(x − 1)(x − 2)(x − 3) tenga un
cero en x = 4. Justifique.
c) Halle, si es posible, el valor de k3 para que la función f3(x) = cos(2 k3 x) tenga peŕıodo 4π.
17
Gúıa H: Ĺımite y Continuidad
1) a) Indique si la función f(x) =
1
x2 − 4
+ 3 posee aśıntotas (verticales y horizontales). En caso afirmativo
escriba la ecuación de las mismas. Con la información obtenida haga un bosquejo de su gráfica.
b) Halle, si es posible, el valor de m para que la función f(x) =
mx2 − 3x
4x2 + 5x
+ m tenga como aśıntota
horizontal y = −2. Justifique.
2) Sean f y g funciones continuas en x = 1 y el ĺım
x→1
f(x) = 5,
a) calcule ĺım
x→1
[(−3f(x))2 + 4g(x)− 7];
b) indique el valor de ĺım
x→2
f(x) para que ĺım
x→2
[3(f(x))2 − 5f(x)] = −2.
3) Dada la función f(x) cuya gráfica se observa en la figura, indique:
a) ¿Es continua en x = −1?
b) ¿Es continua en x = 0?
c) ¿Es continua en el intervalo (0,+∞)?
d) ¿Es continua en todo su dominio?
e) Las discontinuidades que posee f . Justifique.
f) Los intervalos del dominio donde f(x) es continua.
4) Dada la función
f(x) =
 2x2 + a, x < 1−x2 + 1, x > 1 ,
encuentre el o los valores de a tales que:
a) exista ĺım
x→1
f(x);
b) la función f es continua en x = 1.
5) Dada la función f(t) =

1
t
−∞ < t < 0
−(t− 1)2 + c1, 0 ≤ t < 2
c2e
−t 2 ≤ t
, se pide:
a) Determinar el valor de la constante c1 para que la función pase por el punto (0, 3).
b) Determinar el valor de la constante c2 tal que la función sea continua en el intervalo (0,+∞).
c) Esbozar la gráfica de f para los valores c1 y c2 calculados anteriormente.
d) Justificar si f posee aśıntotas horizontales.
hola
Facultad de Bioqúımica y Ciencias Biológicas - UNL -
Matemática General - Bioqúımica y Licenciatura en Biotecnoloǵıa
TRIGONOMETRÍA
Valores exactos de las funciones trigonométricas de algunos ángulos:
Ángulo A Ángulo A
en grados en radianes senA cosA tanA cotA secA cscA
0◦ 0 0 1 0 ∞ 1 ∞
15◦ π/12 14(
√
6−
√
2) 14(
√
6 +
√
2) 2−
√
3 2 +
√
3
√
6−
√
2
√
6 +
√
2
30◦ π/6 12
1
2
√
3 13
√
3
√
3 23
√
3 2
45◦ π/4 12
√
2 12
√
2 1 1
√
2
√
2
60◦ π/3 12
√
3 12
√
3 13
√
3 2 23
√
3
75◦ 5π/12 14(
√
6 +
√
2) −14(
√
6−
√
2) 2 +
√
3 2−
√
3
√
6 +
√
2
√
6−
√
2
90◦ π/2 1 0 ±∞ 0 ±∞ 1
105◦ 7π/12 14(
√
6 +
√
2) −14(
√
6−
√
2) −(2 +
√
3) −(2−
√
3) −(
√
6 +
√
2)
√
6−
√
2
120◦ 2π/3 12
√
3 −12 −
√
3 −13
√
3 -2 23
√
3
135◦ 3π/4 12
√
2 −12
√
2 -1 -1 −
√
2
√
2
150◦ 5π/6 12 −
1
2
√
3 −13
√
3 −
√
3 −23
√
3 2
165◦ 11π/12 14(
√
6−
√
2) −14(
√
6 +
√
2) −(2−
√
3) −(2 +
√
3) −(
√
6−
√
2)
√
6 +
√
2
180◦ π 0 -1 0 ∓∞ -1 ±∞
195◦ 13π/12 −14(
√
6−
√
2) −14(
√
6 +
√
2) 2−
√
3 2 +
√
3 −(
√
6−
√
2) −(
√
6 +
√
2)
210◦ 7π/6 −12 −
1
2
√
3 13
√
3
√
3 −23
√
3 -2
225◦ 5π/4 −12
√
2 −12
√
2 1 1 −
√
2 −
√
2
240◦ 4π/3 −12
√
3 −12
√
3 13
√
3 -2 −23
√
3
255◦ 17π/12 −14(
√
6 +
√
2) −14(
√
6−
√
2) 2 +
√
3 2−
√
3 −(
√
6 +
√
2) −(
√
6−
√
2)
270◦ 3π/2 -1 0 ±∞ 0 ±∞ -1
285◦ 19π/12 −14(
√
6 +
√
2) 14(
√
6−
√
2) −(2 +
√
3) −(2−
√
3)
√
6 +
√
2 −(
√
6−
√
2)
300◦ 5π/3 −12
√
3 12 −
√
3 −13
√
3 2 −23
√
3
315◦ 7π/4 −12
√
2 12
√
2 -1 -1
√
2 −
√
2
330◦ 11π/6 −12
1
2
√
3 −13
√
3 −
√
3 23
√
3 -2
345◦ 23π/12 −14(
√
6−
√
2) 14(
√
6 +
√
2) −(2−
√
3) −(2 +
√
3)
√
6−
√
2 −(
√
6 +
√
2)
360◦ 2π 0 1 0 ∓∞ 1 ∓∞
Fórmulas de adición:
sen(α± β) = senα cosβ ± senβ cosα ,
cos(α± β) = cosα cosβ ∓ senβ senα ,
tg(α± β) = tgα± tg β
1∓ tgα tg β
,
senα± senβ = 2 sen 1
2
(α± β) cos 1
2
(α∓ β) ,
cosα+ cosβ = 2 cos
1
2
(α+ β) cos
1
2
(α− β) ,
cosα− cosβ = −2 sen 1
2
(α+ β) sen
1
2
(α− β) ,
senα senβ =
1
2
[cos(α− β)− cos(α+ β)] ,
senα cosβ =
1
2
[sen(α+ β) + sen(α− β)] ,
cosα cosβ =
1
2
[cos(α+ β) + cos(α− β)] .