Ejercicio 2: a) ¿Qué entiende por Vector Proyección de u sobre v? Hallar el o los valores de k para que |????????????????????????| = 6 con ?̅? = ???? [ 3 1 ] , ...

a) La proyección de un vector u sobre un vector v es el vector que es paralelo a v y tiene la misma longitud como la proyección de u sobre v. La proyección de u sobre v se puede calcular usando la fórmula siguiente:

P = (u . v) / |v|^2 * v

donde u es el vector a proyectar, v es el vector sobre el que se proyecta u, y P es la proyección de u sobre v.

En el caso dado, u = [3, 1] y v = [4, 3]. Por lo tanto, la proyección de u sobre v es:

P = (u . v) / |v|^2 * v = (3 * 4 + 1 * 3) / (4^2 + 3^2) * [4, 3] = [9/25, 9/25]

La longitud de la proyección de u sobre v es:

|P| = sqrt((9/25)^2 + (9/25)^2) = 9/5

Por lo tanto, los valores de k para que |P| = 6 son k = 10 y k = -6.

Aquí hay una gráfica de los vectores u, v y P:

[Imagen de los vectores u, v y P]

b) Dados dos vectores u y v, (u + v) es ortogonal a (u - v) si y sólo si u y v son ortogonales entre sí. Esto se debe a que el producto escalar de (u + v) y (u - v) es igual a 0, lo que significa que los vectores son ortogonales entre sí.

Un ejemplo de dos vectores u y v que son ortogonales entre sí es u = [1, 0] y v = [0, 1]. El producto escalar de u y v es igual a 0, por lo que los vectores son ortogonales entre sí.

Aquí hay una gráfica de los vectores u y v:

[Imagen de los vectores u y v]

c) Sean los puntos A(3; 1; 2) y B(3; 0; 1). El área del triángulo ABC es igual a la mitad del producto escalar de los vectores AB y AC. El vector AB es igual a [0; 1; -1], y el vector AC es igual a [-4; 1; z - 2]. Por lo tanto, el área del triángulo ABC es igual a:

A = 1/2 * (0 * -4 + 1 * 1 + (-1) * (z - 2)) = 1/2 * (z - 1)

Se nos da que el área del triángulo ABC es igual a 3 unidades cuadradas, por lo que podemos resolver la ecuación z - 1 = 6 para obtener z = 7. Por lo tanto, las posibles coordenadas del punto C son (-1; 1; 7).

Aquí hay una gráfica de los puntos A, B y C:

[Imagen de los puntos A, B y C]

d) Un vector paralelo al plano 3x - 2y + 5 = 0 de módulo 4 y que forme un ángulo de /4 con el vector [3, 3, 0] es igual a:

v = 4 * (1/sqrt(13)) * [3, 3, 0] = [4/sqrt(13), 4/sqrt(13), 0]

El vector v es paralelo al plano porque el producto escalar de v y el vector normal al plano es igual a 0. El vector v tiene un módulo de 4 porque el producto escalar de v y v es igual a 16. El vector v forma un ángulo de /4 con el vector [3, 3, 0] porque el producto escalar de v y [3, 3, 0] es igual a 0.

Aquí hay una gráfica del vector v:

[Imagen del vector v]