Ejercicio 1: Justificar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: a) Si la recta es una asíntota vertical de , entonces no está definid...

a) La proposición es falsa. Una asíntota vertical es una recta que se aproxima a la gráfica de una función en el infinito, pero nunca la toca. Una función puede estar definida en un punto en el que tiene una asíntota vertical, siempre y cuando la función no se aproxime a la asíntota vertical en ese punto. Por ejemplo, la función f(x)=x

1

​ tiene una asíntota vertical en x=0, pero la función está definida en x=0.

b) La proposición es verdadera. La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que la función cambia. Si la derivada de una función es cero en un punto, entonces la función no cambia en ese punto. Esto significa que la función no puede tener un máximo o un mínimo relativo en ese punto.

c) La proposición es verdadera. La regla de l'Hôpital establece que si f(x) y g(x) se acercan a 0 o a ∞ de la misma manera cuando x→a, entonces limx→a

​g(x)

f(x)

​=limx→a

​g′

(x)

f′

(x)

​. Esto significa que si limx→a

​g(x)

f(x)

​ existe, entonces también debe existir limx→a

​g′

(x)

f′

(x)

​.

Aquí hay un ejemplo de cómo se puede usar la regla de l'Hôpital para encontrar una derivada. Consideremos la función f(x)=x3

x2

​. Podemos ver que f(x) se acerca a 0 cuando x→0. Para encontrar la derivada de f(x), podemos usar la regla de l'Hôpital de la siguiente manera:

\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^3} = \lim_{x\to 0}\frac{2x}{3x^2} = \frac{2}{3}

Por lo tanto, limx→0

​g(x)

f(x)

​=3

2

​, y la derivada de f(x) en x=0 es 3

2

​.