Ejercicio 8): dada la función    π<≤ <≤π− = t0,t 0t,0 )t(f a) Graficar f(t). b) Encontrar el desarrollo en serie de Fourier que le corresponde....

a) La función f(t) se grafica a continuación:

[Imagen de la función f(t)]

b) El desarrollo en serie de Fourier de f(t) es el siguiente:

f(t) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left(-1\right)^n \sin \left(2 \pi n t\right)

c) La serie converge a la función f(t) en el intervalo [0,2π].

d) La serie se puede expresar en su forma armónica como sigue:

f(t) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left(-1\right)^n \sin \left(2 \pi n t\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \left(\sin \left(2 \pi t\right) - \sin \left(4 \pi t\right) + \sin \left(6 \pi t\right) - \sin \left(8 \pi t\right) + \dots\right)

e) El espectro de amplitudes de la serie es el siguiente:

[Imagen del espectro de amplitudes]

El espectro de amplitudes de la serie muestra que la serie está compuesta por una serie armónica de ondas senoidales de frecuencia fundamental 2π. La amplitud de cada onda decrece en proporción a 1/n, donde n es el número de onda. La primera cinco armónicas de la serie se grafican a continuación:

[Imagen de las primeras cinco armónicas de la serie]

Como se puede ver, las primeras cinco armónicas de la serie son ondas senoidales de frecuencia fundamental 2π, amplitud 1/2, y fase 0,π/2,π,3π/2,2π respectivamente.