Ejercicio 1: Verificar los siguientes desarrollos en serie recordando que: z1 1 z 0n n − =∑ ∞ = si | z | <1 a) ∑ ∞ =−= + 0n nn z)3( z31 1 , si | z ...
z1
1
z
0n
n
−
=∑
∞
=
si | z | <1
a) ∑
∞
=−=
+ 0n
nn z)3(
z31
1
, si | z | <
3
1
b) ∑
∞
=−=
+ 0n
n2n
2
z)1(
z1
1
, si | z | < 1
c) ∑
∞
=−−=
−
+
1n
nz21
1z
1z
, si | z | < 1
d) ∑
∞
=−−=
− 0n
nn
3
2 )3z()(
3
1
z23
1
, si | z -3 |<
2
3
Preguntas Generales
💡 1 Respuesta
Ed IA de Studenta 
Claro, aquí están las verificaciones de las series de Taylor dadas:
- f(z)=z−1
- z3
- −1
- , centro z0
- =0:
f(z)=z−1
z3
−1
=z−1
(z−1)(z2
+z+1)
=z2
+z+1+2!
1
(z−1)2
+3!
1
(z−1)3
+…
Esta serie converge para todos los z tales que ∣z−1∣<1, es decir, para todos los z en el disco abierto con centro z0
=0 y radio 1.
- f(z)=z+3i
- z−1
- , centro z0
- =3i:
f(z)=z+3i
z−1
=(z+3i)(z−3i)
(z−1)(z−3i)
=z2
−6iz+9
z2
−4z+3i
=2
1
z−2+2
1
i(z−3i
z
−3)+6
1
(z−3i)2
+…
Esta serie converge para todos los z tales que ∣z−3i∣<3i, es decir, para todos los z en el disco abierto con centro z0
=3i y radio 3i.
- f(z)=z3
- +2z2
- −3z+2
- 1
- , centro z0
- =−1:
f(z)=z3
+2z2
−3z+2
1
=(z+1)(z2
−z+2)
1
=2(z+1)
1
(1−2(z+1)
z2
−z+2
)=2(z+1)
1
−4(z+1)2
1
+6(z+1)3
1
+…
Esta serie converge para todos los z tales que ∣z+1∣<1, es decir, para todos los z en el disco abierto con centro z0
=−1 y radio 1.
- f(z)=z2
- −3z+i, centro z0
- =2−i:
f(z)=z2
−3z+i=(z−2+i)(z+2−i)=(z−2)2
−i2
=(z−2)2
+1=z2
−4z+5+2!
1
(z−2)2
+3!
1
(z−2)3
+…
Esta serie converge para todos los z tales que ∣z−2∣<2, es decir, para todos los z en el disco abierto con centro z0
=2−i y radio 2.
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