G_4_series_Taylor_Laurent

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Cálculo avanzado – Fundamentos para el análisis de señales – Análisis numérico y Cálculo avanzado 
 2012 1 de 2 
 
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
Facultad Regional Santa Fe 
 
Guía de Ejercicios 4: Desarrollos en serie de Taylor y de Laurent 
 
Ejercicio 1: Verificar los siguientes desarrollos en serie recordando que: 
z1
1
z
0n
n
−
=∑
∞
=
si | z | <1 
a) ∑
∞
=
−=
+ 0n
nn z)3(
z31
1
, si | z | < 
3
1
 
b) ∑
∞
=
−=
+ 0n
n2n
2
z)1(
z1
1
, si | z | < 1 
c) ∑
∞
=
−−=
−
+
1n
nz21
1z
1z
, si | z | < 1 
d) ∑
∞
=
−−=
− 0n
nn
3
2 )3z()(
3
1
z23
1
, si | z -3 |<
2
3
 
Ejercicio 2: Hallar la serie de Taylor de las funciones dadas con centro en los puntos indicados 
a) 
Z1
Z31
)z(f
−
−= ; Z0=0 
b) 
z1
1
)z(f
−
= ; z0=3i 
c) 
1z3z2
z32
)z(f
2 +−
−= ; z0 = -1 
d) f(z) = z2 -3z + i ; z0 = 2 - i 
Ejercicio 3: Sin obtener las series, determinar los radios de convergencias de los desarrollos en serie de 
Taylor de las siguientes funciones: 
a) f(z) = tg(z), centro z0 = 0 
b) 
1e
1
)z(f
z −
= ; centro z0 = 4 i 
c) 
5z2z
z
)z(f
2 ++
= ; centro z0 = 1 
(Rtas: 22;42;2 −ππ ) 
Ejercicio 4: Encontrar el desarrollo en serie de Laurent de las siguientes funciones, representar 
gráficamente la región de convergencia y calcular b1. 
a) 
)2z(z
1
)z(f
−
= 
a1) convergente para 0 < |z | < 2; 
a2) convergente para | z | > 2; 
a3) convergente para 0 < | z -2 | < 2 
 
 
Cálculo avanzado – Fundamentos para el análisis de señales – Análisis numérico y Cálculo avanzado 
 2012 2 de 2 
 
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
Facultad Regional Santa Fe 
b) 
)2z)(1z(
z
)z(f
−−
= convergente para: 
b1) convergente para 0 < |z-1 | < 1; 
a2) convergente para | z -1| > 1; 
a3) convergente para 0 < | z -2 | < 1 
Ejercicio 5: Encontrar el desarrollo de Laurent con centro en z0 = 1 de 2
z2
)1z(
e
)z(f
−
= 
Ejercicio 6: Encontrar el desarrollo de Laurent con centro en z0 = 0 de 3z
zenzz
)z(f
−=