1) Sabiendo que       = 3 4 u y       − = k k v 1 , hallar el valor de la constante k tal que: a) Los vectores sean paralelos y d...

a) Para que los vectores u=(3

4

​) y v=(k

k

​) sean paralelos, se debe cumplir que el producto escalar de ambos vectores sea igual a cero. Esto significa que:

\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} k \\ k \end{pmatrix} = 0

Expandiendo, tenemos que:

3k + 4k = 0

Por lo tanto, k=−4

3

​. El vector proyectivo de u sobre v es dado por:

\frac{u \cdot v}{||v||^2} v = \frac{\begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} \ -\frac{3}{4} \end{pmatrix}}{\left| \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} \ -\frac{3}{4} \end{pmatrix} \right|^2} \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} \ -\frac{3}{4} \end{pmatrix} = -\frac{9}{39} \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} \ -\frac{3}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ 3 \end{pmatrix}

b) Para que los vectores u=(3

4

​) y v=(k

k

​) sean perpendiculares, se debe cumplir que el producto escalar de ambos vectores sea cero. Esto significa que:

\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} k \\ k \end{pmatrix} = 0

Expandiendo, tenemos que:

3k + 4k = 0

Por lo tanto, k=−7

4

​. El vector proyectivo de u sobre v es dado por:

\frac{u \cdot v}{||v||^2} v = \frac{\begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{4}{7} \ -\frac{4}{7} \end{pmatrix}}{\left| \begin{pmatrix} -\frac{4}{7} \ -\frac{4}{7} \end{pmatrix} \right|^2} \begin{pmatrix} -\frac{4}{7} \ -\frac{4}{7} \end{pmatrix} = -\frac{16}{28} \begin{pmatrix} -\frac{4}{7} \ -\frac{4}{7} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/7 \ 4/7 \end{pmatrix}

Como puedes ver, el valor de la constante k debe ser −4

3

​ para que los vectores sean paralelos, y debe ser −7

4

​ para que los vectores sean perpendiculares.