2) Sea r la recta perpendicular al vector       = 2 3 n y que pasa por el punto P0(2,2) a) Hallar una ecuación para la recta r. Rta: 3x +...

a) La ecuación de la recta r es:

3x + 2y - 10 = 0

Para encontrar esta ecuación, podemos usar el hecho de que la recta r es perpendicular al vector n

^

=(2

3

​). Esto significa que el producto escalar de n

^

con cualquier vector paralelo a la recta r debe ser cero.

Un vector paralelo a la recta r es (3

2

​). Por lo tanto, tenemos que:

\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = 0

Expandiendo, tenemos que:

6 + 6 = 0

Esto nos da la ecuación 3x+2y−10=0.

b) La distancia entre la recta r y el origen de coordenadas es:

\frac{10}{\sqrt{13}}

Para encontrar esta distancia, podemos usar el hecho de que la distancia entre un punto (x,y) y una línea dada por la ecuación ax+by+c=0 es dada por:

\frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

En este caso, tenemos que a=3, b=2, y c=−10. Por lo tanto, la distancia entre la recta r y el origen de coordenadas es:

\frac{|3(0) + 2(0) - 10|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{10}{\sqrt{13}}