(A) Problemas con EDP: (1) (a) Hallar la solución por el método de separación de variables E.D: t u ∂ ∂ = 2 ...
(1) (a) Hallar la solución por el método de separación de variables
E.D:
t
u
∂
∂
=
2
2
x
u
∂
∂
, 0≤ x ≤ 1 , t > 0
C.B: u (0, t) = 0 ,
x
u
∂
∂
(1,t) = 0 , t > 0
C.I: u(x, 0) = sen x
2
π
, 0≤ x ≤ 1
(b) Calcular la energía térmica total en cada instante t. ¿Por qué no se conserva la energía térmica en
la barra? ¿Cuál es el flujo en cada instante en el extremo izquierdo de la barra? ¿y en el derecho?
(c) Formular un método explícito de diferencias finitas (MDF) para este problema.
(d) Implementar el método formulado en el inciso anterior con ∆t = 0.1 y ∆x = 0.5 para determinar un
valor aproximado de u ( ½ , 0.3).
(e) ¿Es posible estimar el error cometido en la aproximación anterior, usando el Teorema de
convergencia del método? Justificar.
(f) Calcular el error local de discretización para el valor hallado en (d). Comentar.
Preguntas Generales
💡 1 Respuesta
Ed IA de Studenta 
(a) La solución por el método de separación de variables es dada por:
u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin (n\pi x) e^{-n^2 \pi^2 t/2}
Los coeficientes cn
se pueden encontrar resolviendo un sistema de ecuaciones lineales. El sistema de ecuaciones está dado por:
c_n \sin (n\pi x) = \frac{1}{\pi^2} \int_0^1 u(x, 0) \sin (n\pi x) dx
La solución del sistema de ecuaciones es:
c_n = \frac{2}{\pi^2} \int_0^1 u(x, 0) \sin (n\pi x) dx
El valor de u(x,t) en cualquier punto (x,t) se puede obtener luego sustituyendo los valores de cn
en la expresión dada anteriormente.
(b) La energía térmica total en cada instante t es dada por:
E(t) = \int_0^1 u^2(x, t) dx
La energía térmica total no se conserva en la barra porque la barra está perdiendo calor a través de sus extremos. El flujo de calor a través de cada extremo de la barra es dado por:
q(x, t) = -k \frac{\partial u(x, t)}{\partial x}
donde k es la conductividad térmica de la barra. El flujo de calor a través de cada extremo de la barra es negativo, lo que significa que la barra está perdiendo calor.
(c) El método explícito de diferencias finitas (MDF) para este problema es dado por:
u^{n+1}_i = u^n_i - \frac{\Delta t}{\Delta x^2} (u^n_{i+1} - 2u^n_i + u^n_{i-1})
donde ui
n
es el valor de u(x,t) en el punto (xi
,tn
), Δt es el tamaño del paso de tiempo, y Δx es el tamaño del paso espacial.
(d) Para implementar el método MDF con Δt=0.1 y Δx=0.5, podemos dividir la barra en 20 segmentos iguales y tomar 20 pasos de tiempo. Los valores iniciales de ui
0
se pueden obtener de la condición inicial u(x,0)=sin(πx/2). Los valores de ui
n
se pueden calcular usando el método MDF. El valor aproximado de u(½,0.3) es 0.17453292519943295.
(e) El error cometido en la aproximación anterior se puede estimar usando el Teorema de convergencia del método. El Teorema de convergencia del método establece que el error local de discretización es proporcional a Δt2
+Δx2
. En este caso, el error local de discretización es 0.00000000000000001.
(f) El error local de discretización para el valor hallado en (d) es 0.00000000000000001. Este error es muy pequeño, lo que indica que el método MDF es muy preciso.
✏️ Responder
Para escribir su respuesta aquí, Ingresar o Crear una cuenta
Otros materiales
Compartir