a) ¿Es cierto que para una función vectorial )(tr r con módulo constante tCtr ∀= ;)(r se cumple ttrtr ∀⊥ )()(' rr ?

Sí, es cierto. La condición ttrtr ∀⊥ )()(' rr se llama condición de ortogonalidad de los gradientes. Se puede demostrar que si una función vectorial )(tr r tiene módulo constante, entonces sus gradientes son ortogonales.

Para demostrar esta condición, comenzamos por la ecuación tCtr ∀= ;)(r. Esta ecuación nos dice que el módulo de )(tr r es constante. Esto significa que )(tr r es una función escalar. El gradiente de una función escalar es siempre perpendicular a la función misma. Por lo tanto, los gradientes de )(tr r son perpendiculares a )(tr r.

En otras palabras, si )(tr r tiene módulo constante, entonces sus gradientes son ortogonales.