A. Solución de la ecuación de Laplace
Para resolver la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas utilizamos el método de se- paración de variables, de modo que la ecuación a resolver es
∇2ϕ = 1 r2 ∂ ∂r ( r2 ∂ϕ ∂r ) + 1 r2senθ ∂ ∂θ ( senθ ∂ϕ ∂θ ) + 1 r2sen2θ ( ∂2ϕ ∂φ2 ) = 0 (10)
La solución propuesta es de la forma ϕ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ). Luego de resolver R(r) y Y (θ, φ) por separado y juntar los resultados obtenemos la solución general de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas
ϕ(r, θ, φ) = ∞∑ l=0 l∑ m=−l [ Al,mr l +Bl,mr (−l+1)]Yl,m(θ, φ) (11)
Cuando la densidad de carga está confinada a una esfera de radio R, el potencial en el exterior está dado por
ϕout(r, θ, φ) = 1 4πε0 ∞∑ l=0 l∑ m=−l Al,m Yl,m(Ω) rl+1 r > R (12)
Si la carga se encuentra en la región exterior a dicha esfera, el potencial en el interior es
ϕin(r, θ, φ) = 1 4πε0 ∞∑ l=0 l∑ m=−l Bl,mr lY ∗l,m(Ω) r < R (13)
Donde Ω ≡ (θ, φ), Alm es el momento multipolar esférico exterior y Blm el momento multipolar esférico interior2.
Ahora veamos que en nuestro problema el potencial dentro de la esfera está dado por (13) y fuera de la misma por (12). Además, dado que ϕ(r̄) debe ser continuo, la ecuaciones (13) y (12) deben ser iguales en r = R. Entonces,
1 4πε0 ∑ l′,m′ Al′,m′ Yl′,m′(Ω) Rl+1 = 1 4πε0 ∑ l,m (−1)mBl,mRlY ∗l,m(Ω) (14)
Sabiendo la siguiente propiedad de los armónicos esféricos
Y ∗l,m = (−1)mYl,−m (15)
Y reemplazando en (14)
1 4πε0 ∑ l′,m′ Al′,m′ Yl′,m′(Ω) Rl+1 = 1 4πε0 ∑ l,m (−1)mBl,mRlYl,−m(Ω) (16)
Llegamos a
Al,−m Rl+1 = (−1)mBl,mRl ⇒ (−1)m Al,−m R2l+1 = Bl,m (17)
Reemplazando (17) en (13) obtenemos
ϕin(r, θ, φ) = 1 4πε0 ∑ l,m Al,−m R2l+1 rl (−1)mY ∗l,m(Ω)︸ ︷︷ ︸ Yl,−m(Ω) r < R (18)
Y entonces llegamos a
ϕin(r, θ, φ) = ∑ l,m Ãl,m ( r R )l Ylm(Ω) r < R (19)
donde
4πε0 R l+1 Ãl,m = Al,m (20)
Reemplazando (20) en (12) llegamos a
ϕout(r, θ, φ) = ∑ l,m Ãl,m ( R r )l+1 Ylm(Ω) r > R (21)
Finalmente, escribimos (19) y (21) en una sola ecuación
ϕ(r, θ, φ) =  ∑ l,m Ãl,m ( R r )l+1 Ylm(θ, φ) r ≥ R ∑ l,m Ãl,m ( r R )l Ylm(θ, φ) r ≤ R (22)
Veamos que (22) satisface la solución general de la ecuación de Laplace (ecuación 10) y además garantiza que ϕ(r̄) es continua y regular en el origen y en el infinito como queŕıamos.
Referencias
[1] D. J. Griffiths; Introduction to Electrodynamics. 3ra.ed., Prentice-Hall Inc. New Jersey, 1999.
[2] A. Zangwill; Modern Electrodynamics. 1ra edición, Cambridge University Press. New York, 2012.