4. Cuántos numerales de la forma siguiente existen? Siendo a, b y c naturales? (2 1)( 2)( )a b a2 9+ -

La expresión (2/1)(2)(-9)a/b - a² se puede factorizar como:

(-9a/b - 1)a - 9

Para que esta expresión represente un número natural, el valor de (-9a/b - 1) debe ser un factor de 9. Los valores de (-9a/b - 1) que son factores de 9 son:

1, 9

Por lo tanto, los valores de a que hacen que la expresión represente un número natural son:

a = 1/9, 1

Para cada valor de a, el valor de b debe ser un múltiplo de 9. Los valores de b que son múltiplos de 9 son:

b = 9, 18, 27, ...

Por lo tanto, el número de numerales de la forma siguiente que existen es:

2 * (9 + 1) = **20**

La respuesta es 20.

Explicación alternativa:

La expresión (2/1)(2)(-9)a/b - a² se puede escribir como:

-9a²/b + 18a/b - 9

La expresión -9a²/b + 18a/b es equivalente a -9a(a/b) + 18a(a/b). Por lo tanto, la expresión se puede escribir como:

-9a(a - 2)/b

Para que esta expresión represente un número natural, el valor de a - 2 debe ser un divisor de 9. Los valores de a - 2 que son divisores de 9 son:

0, 1, 2, 3, 6, 9

Por lo tanto, los valores de a que hacen que la expresión represente un número natural son:

a = 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Para cada valor de a, el valor de b debe ser un múltiplo de 9. Los valores de b que son múltiplos de 9 son:

b = 9, 18, 27, ...

Por lo tanto, el número de numerales de la forma siguiente que existen es:

19 * (9 + 1) = **20**

La respuesta es la misma.