25. a) De una población Normal de media desconocida y desviación típica 6, se extrae la siguiente muestra: 82, 78, 90, 89, 92, 85, 79, 63, 71. Dete...

Solución a)

Para calcular un intervalo de confianza, necesitamos conocer la media muestral y el error estándar de la media. La media muestral es la suma de los valores de la muestra dividida por el número de elementos de la muestra:

\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} = \frac{82 + 78 + 90 + 89 + 92 + 85 + 79 + 63 + 71}{9} = 81

El error estándar de la media es:

s_x = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{6}{\sqrt{9}} = 2

Un intervalo de confianza al 98% para la media de la población es:

\bar{x} \pm 2.33 \times s_x = 81 \pm 2.33 \times 2 = 76.27 < \mu < 85.73

Por lo tanto, con un nivel de confianza del 98%, podemos afirmar que la media de la población se encuentra entre 76.27 y 85.73.

Solución b)

Para que un intervalo de confianza para la media, al 98%, tenga una amplitud igual a 4.66, el error estándar de la media debe ser 2.33:

s_x = \frac{4.66}{\sqrt{n}}

Resolviendo la ecuación, obtenemos:

n = \frac{4.66^2}{2.33^2} = 12.64 \approx 13

Por lo tanto, el tamaño de la muestra debe ser de 13 elementos.