Sem04-Clase02

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Óptica Clásica – CF-2B2B
2021 - 1
Óptica Geométrica
 
Refracción
Luz que pasa a través de un bloque
● Un haz de luz pasa del medio 1 al medio 2, siendo este último medio un bloque 
grueso de material cuyo índice de refracción es n2. Mostrar que el haz emergente es 
paralelo al haz incidente.
 Aplicando la ley de Snell en las superficies superior e inferior
 Combinando las ecuaciones
 
El bloque no altera la dirección del haz. 
Sin embargo hace que se desplace paralelo a sí mismo.
 
Refracción
Luz que pasa a través de un bloque
● ¿Qué sucede con el desplazamiento d si el espesor t del bloque se duplica?
De la figura, la distancia a es la hipotenusa de dos triángulos rectángulos.
 
Combinando las ecuaciones 
Para un ángulo incidente θ1, el ángulo refractado θ2 está determinado solamente por el 
índice de refracción, por lo que el incremento de la distancia d es proporcional a t.
 
Refracción
Luz que pasa a través de un bloque
● ¿Qué sucede con el desplazamiento d si el espesor t del bloque se duplica?
De la figura, la distancia a es la hipotenusa de dos triángulos rectángulos.
 
Combinando las ecuaciones 
Para un ángulo incidente θ1, el ángulo refractado θ2 está determinado solamente por el 
índice de refracción, por lo que el incremento de la distancia d es proporcional a |.
 
Rayo de luz doblemente reflejado
Dos espejos forman un ángulo de 120° entre sí. Un rayo incide en el espejo M1 en un 
ángulo de 65° con respecto a la normal. Hallar la dirección del rayo después de que se 
refleje en el espejo M2.
 
Rayo de luz doblemente reflejado
Suponiendo que los rayos entrantes y salientes en la figura se extienden detrás del 
espejo y se cruzan en un ángulo de 60°, de modo que el cambio general en la dirección 
del rayo de luz es 120° (el mismo valor que el ángulo entre los espejos). ¿Qué sucede si 
se cambia el ángulo entre los espejos? ¿Es el cambio general en la dirección del rayo de 
luz siempre igual al ángulo entre los espejos?
Del triángulo amarillo
El cambio en la dirección del rayo de luz es el 
ángulo β, el cual es 
 
Rayo de luz doblemente reflejado
Si θ = 90°, el haz reflejado vuelve a la 
fuente, paralela a su trayectoria original. 
Este fenómeno, es llamado retroreflexión y 
tiene muchas aplicaciones prácticas. Si se 
coloca un tercer espejo perpendicular a los 
dos primeros, de modo que los tres forman 
la esquina de un cubo, la retroreflexión 
funciona en tres dimensiones.
Panel en la Luna refleja un 
rayo láser directamente de 
regreso a su fuente en la 
Tierra.
En un automóvil la luz 
trasera tiene pequeños 
retroreflectores.
Un rayo de luz que golpea
una esfera transparente en
la posición correcta es
retroreflejado.
Las señales de alto están 
cubierta con una capa de 
muchas diminutas esferas 
retrorreflectantes.
 
Principio de Fermat
Principio de Fermat del tiempo mínimo (1657)
“El camino real que un haz de luz toma entre dos puntos es aquel que es atravesado 
en el menor tiempo.” 
Sea un Medio estratificado (a) y un medio no homogéneo 
(b)
Camino (1): camino físico.
Camino (2): camino arbitrario. No es un camino físico, ya 
que no cumple la ley de Snell en el límite entre dos 
superficies.
Se pueden calcular los tiempos necesarios para que el rayo 
de luz recorra el camino físico (1) y el camino arbitrario (2) 
si se conoce la longitud de c/segmento de camino y la 
velocidad de propagación en cada medio.
El principio de Fermat requiere que el tiempo recorrido por 
el camino físico real sea menor que el tiempo necesario para 
atravesar cualquier otro camino vecino arbitrario no físico, 
t
1
 < t
2
 .
 
Principio de Fermat
Principio de Fermat del tiempo mínimo (1657)
Aplicando a la refracción
El tiempo de tránsito más pequeño probablemente coincidirá con el camino real.
Minimizando t(x) con respecto a las variaciones
en x
 
Principio de Fermat
Principio de Fermat del tiempo mínimo (1657)
Aplicando a la refracción
De la figura, podemos escribir la ecuación 
como 
Que es la ecuación de Snell
Si un rayo de luz debe avanzar de S a P en el menor tiempo posible, debe cumplir con la 
Ley de Refracción.
 
Principio de Fermat
Supongamos que se tiene un material estratificado 
compuesto de m capas, cada una con un índice de 
refracción diferente, el tiempo de tránsito de S a P será 
entonces
Donde si y vi son la longitud y la velocidad del camino, 
respectivamente, asociadas con la i-ésima contribución. 
Así
 
Principio de Fermat
Donde la sumatoria es la longitud del camino óptico 
(OPL) atravesada por el rayo, en contraste con la 
longitud del camino espacial 
Para un medio no homogéneo, donde n es una función 
de posición, la suma debe cambiarse a una integral:
 
La longitud del camino óptico corresponde a la 
distancia en vacío equivalente a la distancia recorrida 
(s) en el medio de índice n.
Esto es, ambos corresponderán al mismo número de 
longitudes de onda, y al mismo cambio 
de fase a medida que avanza la luz.
 
Principio de Fermat
Dado que t = (OPL)/c, se puede reformular el Principio 
de Fermat
“La luz, al pasar del punto S al P, atraviesa el camino 
que tiene la menor longitud del camino óptico.”
 
Principio de Fermat
Formulación moderna del principio de Fermat
● Recordando que si se tiene una función, f(x), se puede determinar el valor específico 
de la variable x que hace que f(x) tenga un valor estacionario, estableciendo df/dx = 0 
y resolviendo para x.
● Por valor estacionario nos referimos a aquel para el cual la pendiente de f(x) versus x 
es cero, o equivalentemente, donde la función tiene un máximo, un mínimo o un 
punto de inflexión con una tangente horizontal.
● El Principio de Fermat en su forma moderna dice: 
“Un rayo de luz al ir del punto S al punto P debe atravesar una longitud de camino 
óptico que es estacionaria con respecto a las variaciones de ese camino.”
 
Principio de Fermat
Formulación moderna del principio de Fermat
“Un rayo de luz al ir del punto S al punto P debe atravesar una longitud de camino 
óptico que es estacionaria con respecto a las variaciones de ese camino.”
Esto significa que la curva del OPL frente a x tendrá una región algo aplanada en las 
proximidades en donde la pendiente llega a cero. El punto de pendiente cero corresponde 
al camino real tomado. En otras palabras, el OPL para la trayectoria verdadera será igual, 
en primera aproximación, al OPL de las rutas inmediatamente adyacentes a ella.
Por ejemplo, en una situación donde el OPL es un mínimo, 
como en la refracción vista, la curva OPL se parecerá a la 
figura. Un pequeño cambio en x alrededor de O tiene poco 
efecto en el OPL, pero un cambio similar en x en cualquier 
lugar alejado de O, resultará en un cambio sustancial en el 
OPL. Por tanto, habrán muchos caminos contiguos al actual 
que tomarían casi el mismo tiempo para la luz atravesar. 
 
Principio de Huygens
Sea que un haz de luz pasa a través de una lámina 
de vidrio no uniforme, de modo que el frente de 
onda Σ se distorsiona. ¿Cómo determinar la 
nueva forma del frente de onda Σ’? O, ¿Cómo se 
verá Σ’ en algún momento posterior si se le 
permite continuar sin obstáculos?
Un paso preliminar a la solución de este problema 
fue publicado en 1690, escrito 12 años antes por 
el físico holandés Christiaan Huygens. En donde 
propuso un mecanismo simple para trazar la 
propagación de ondas. 
 
Principio de Huygens
En esa obra enunció lo que desde entonces se conoce como el Principio de 
Huygens:
“Cada punto en un frente de onda que se propaga sirve como fuente de 
ondas secundarias esféricas (ondulaciones), de modo que el frente de onda 
en algún momento posterior es la envolvente de estas ondas 
(ondulaciones).” 
Un punto importante es que si la onda que se propaga tiene una frecuencia ν, 
y se transmite a través del medio a una velocidad vt, entonces las ondas 
secundarias tienen la misma frecuencia y velocidad.Principio de Huygens
Sea una superficie de onda S. 
● Cuando el movimiento ondulatorio 
alcanza esta superficie, cada partícula a, b, 
c, ... sobre la superficie se convierte en 
una fuente secundaria de ondas, que emite 
ondas secundarías (representada por 
semicircunferencias), que alcanzan la 
próxima capa de partículas del medio. 
● Estas partículas se ponen en movimiento, 
formando la subsiguiente superficie de 
onda S' .… La superficie S' es tangente a 
todas las ondas secundarias. 
● El proceso se repite, resultando la 
propagación de la onda a través del medio. 
 
Principio de Huygens
Del principio de Huygens aparecen dos 
resultados importantes
1. El principio de reversibilidad de los caminos 
ópticos. Si en el intervalo de tiempo Δt, el frente 
de onda se mueve de S de para S′, se encuentra 
que, invirtiendo la dirección de propagación, 
durante el mismo intervalo de tiempo el frente de 
onda se moverá de S' a S.
• Si S′ es la envolvente de esferas de radios 
(c/n)Δt con centros en S, luego S es la envolvente 
de las esferas con radios (c/n)Δt con centros en S′.
• La luz recorre los mismos caminos en 
direcciones opuestas.
 
 
Principio de Huygens
2. El segundo principio establece que la luz 
demora igual tiempo para viajar de un 
frente de onda S’ a otro frente de onda S”, a 
lo largo de cualquier camino luminoso.
A partir de el concepto de longitud de 
camino se puede reformular el principio. 
Todos los rayos luminosos que conectan 
dos frentes de onda S’ y S” recorren 
caminos ópticos iguales.
 
Principio de Huygens
● Esta representación de la propagación de una onda parece razonable 
cuando la onda resulta de las vibraciones mecánicas de los átomos o 
moléculas de un cuerpo (elástica).
● Esta representación no tiene significado físico en casos como, la 
propagación de la OEM en el vacio, donde no hay partículas que vibren. 
Por lo tanto, la construcción de Huygens, aunque razonable al aplicar a 
las ondas mecánicas que se propagan en la materia, requirió una revisión 
al conocerse de otras clase de onda diferentes.
 
Teorema de Malus
● Otro instrumento importante para seguir la 
propagación de una onda, a través de un 
medio, es el teorema de Malus. 
● Se pueden trazar una serie de lineas 
perpendiculares a las superficies de onda 
(indicadas con líneas de trazos con flechas). 
Estas líneas se llaman rayos y corresponden a 
líneas de propagación de la onda. 
● Observese que la relación entre rayos y 
superficies de ondas es similar a la relación 
entre líneas de fuerza y superficies 
equipotenciales. 
● Puntos de diferentes superficies de onda unidos por un rayo dado, tal como a, a', a" ó b, 
b', b", se llaman puntos correspondientes. 
● El tiempo requerido para que la onda vaya desde S a S" debe ser el mismo cualquiera 
sea el rayo según el cual se mida. 
 
Teorema de Malus
● Se puede de este modo establecer que 
● “El tiempo que separa puntos 
correspondientes de dos frentes de onda es 
el mismo para todos los pares de puntos 
correspondientes”.
● Las distancias aa", bb", cc", etc., deben 
depender de la velocidad del movimiento 
ondulatorio en cada punto.
● En un medio isótropo y homogéneo, donde 
la velocidad es la misma en todos los puntos 
y en todas las direcciones, la separación entre 
dos superficies de onda debe ser la misma 
para todos los puntos correspondientes. 
 
Teorema de Malus
● Sea el caso de una onda que se propaga a 
través de una sucesión de medios isótropos 
homogéneos. 
● En el cruce de cada superficie de separación 
de dos medios adyacentes, la dirección de 
propagación puede cambiar (esto es, los 
rayos pueden cambiar de dirección), pero 
mientras esté propagándose en un medio 
dado, estos rayos seguirán siendo líneas 
rectas perpendiculares a las superficies de 
onda. 
● Sea S una superficie de onda en el primer medio. Se pueden trazar dos rayos, R1 y R2, 
perpendiculares a S. Las sucesivas superficies de onda en ese medio deben ser 
perpendiculares a R1 y R2.
● Si después que el movimiento ondulatorio ha pasado a través de todos los medios, 
observamos otra superficie de onda S', se encuentra que los rayos R1 y R2 se han 
transformado en los rayos R1' y R2', que son también perpendiculares a S'. 
 
Teorema de Malus
En otras palabras 
“La relación de ortogonalidad entre rayos y superficies de onda se conserva a través 
de todo el proceso de la propagación de una onda”.
● Este teorema supone además que el tiempo requerido para que la onda se propague 
desde A1 hasta A1’ (que son puntos correspondientes) debe ser el mismo que el 
tiempo requerido para ir desde A2 hasta A2‘(que también son puntos 
correspondientes).