La función f:ℜ→ℜ dada por f(x) = x2+bx+c , si x ≤ 0 ln(x+1) x, si x > 0 es derivable en el punto x=0. ¿Cuánto valen b y c?

Para verificar si la función f(x) es derivable en el punto x=0, primero debemos encontrar los valores de b y c que hacen que la función sea continua en ese punto. La continuidad es un requisito previo para la derivabilidad.

En el punto x=0, la función f(x) debe ser continua. Esto significa que el límite de la función cuando x tiende a 0 desde ambos lados debe ser igual. Es decir:

lim (x -> 0-) f(x) = lim (x -> 0+) f(x)

Primero, calculemos los límites desde ambos lados:

lim (x -> 0-) f(x) = lim (x -> 0-) (x^2 + bx + c)

Para el lado izquierdo de x=0, la función es simplemente x^2 + bx + c.

lim (x -> 0+) f(x) = lim (x -> 0+) (ln(x+1) x)

Para el lado derecho de x=0, la función es ln(x+1) * x.

Para que la función sea continua en x=0, los límites desde ambos lados deben ser iguales. Entonces:

x^2 + bx + c = ln(x+1) * x

Para encontrar los valores de b y c, primero evaluaremos esta ecuación en x=0:

0^2 + b * 0 + c = ln(0+1) * 0

Esto se reduce a:

c = 0

Ahora, la ecuación se convierte en:

x^2 + bx = ln(x+1) * x

Dado que hemos establecido que c = 0, necesitamos encontrar el valor de b. Para hacerlo, podemos simplificar la ecuación y luego encontrar el valor de b:

x^2 + bx = x * ln(x+1)

Dividimos ambos lados por x (asegurándonos de que x no sea igual a 0, ya que estamos tratando con dos lados del límite):

x + b = ln(x+1)

Ahora, evaluemos el límite de esta ecuación cuando x tiende a 0:

lim (x -> 0) (x + b) = lim (x -> 0) ln(x+1)

0 + b = ln(0+1)

b = ln(1)

b = 0

Entonces, los valores de b y c que hacen que la función sea continua y, por lo tanto, derivable en x=0 son b = 0 y c = 0.