43. La función f:ℜ→ℜ definida por f(x) = 3-kx2 , si x ≤ 1 2 kx , si x > 1 es derivable en todo su dominio. (1) ¿Cuánto vale k? ¿Cuánto vale f ´(...

(1)

Para que la función sea derivable en todo su dominio, las dos expresiones que definen f(x) deben tener la misma derivada en x=1. Es decir,

3-k(1)^2 = k(1)
3-k = k
2k = 3
k = \frac{3}{2}

Por lo tanto, k=3/2.

Para calcular f ´(1), basta sustituir x=1 en la expresión de la derivada de f(x) para x>1:

f ´(1) = \frac{3}{2}(1) = \frac{3}{2}

(2)

La gráfica de la función f(x) para x ≤ 1 es una parábola con vértice en (0,3). La gráfica de la función f(x) para x > 1 es una recta con pendiente 3/2.

La intersección de las dos gráficas se produce en x=1.

f(1) = 3-\frac{3}{2} = \frac{3}{2}

Por lo tanto, la región limitada por la gráfica de la función f, el eje OX, el eje OY y la recta x=2 es un trapecio isósceles con bases de 2 y 3/2 y altura 3/2.

(3)

El área del trapecio isósceles se calcula como

A = \frac{1}{2}(b_1+b_2)h
A = \frac{1}{2}(2+\frac{3}{2})\left(\frac{3}{2}\right)
A = \frac{9}{4}

Por lo tanto, el área de la región descrita es de 9/4.