Problema 1
Un niño de masa M se desliza por un resbaĺın a rapidez v0 constante, como se muestra en la figura: El resbaĺın tiene forma de hélice, definida por las ecuaciones r = R, constante, y z = (h/2π)θ. Para describir el movimiento:
i) Escriba el vector posición del niño en coordenadas ciĺındricas.
ii) Determine la velocidad angular del niño alrededor del eje z.
iii) Determine la aceleración indicando su magnitud y sentido.
Solución:
i) Usando coordenadas ciĺındricas, escogiendo el eje z como el eje de simetŕıa de la hélice, el vector posición del niño está dado por
~r = rρ̂ + zk̂ = Rρ̂ + h/2πθk̂, en que hemos usado la ecuación de la hélice (i.e., r = R, constante, y z = (h/2π)θ) para escribir la segunda igualdad.
ii) En ciĺındricas, la velocidad del niño está dada por
~v = ṙρ̂ + rθ̇θ̂ + żk̂, y usando la ecuación de la hélice, tenemos r = R, ṙ = 0 y ż = θ̇(h/2π), obtenemos que
~v = θ̇(Rρ̂ + h/2πθ̂). A partir de lo anterior, podemos encontrar el módulo de la velocidad, el cual está dado por
|~v| = √(~v · ~v) = |θ̇|√R2 + (h/2π)2. De acuerdo al enunciado el problema |~v| = v0, y en tonces, de la ecuación anterior encontramos, |θ̇| = v0√R2 + (h/2π)2.
iii) En general, la aceleración en ciĺındricas está dada por:
~a = (r̈ − rθ̇2)ρ̂ + (2ṙθ̇ + rθ̈)θ̂ + z̈k̂
En el caso particular del movimiento del niño por la hélice, tenemos que r = R (constante), de modo que ṙ = 0 y r̈ = 0. Por otra parte, como hemos visto de la parte ii), θ̇ es una constante, de modo que θ̈ = 0. Además z̈ es proporcional a θ̈ y por lo tanto también se anula. Reemplazando todo esto en la ecuación anterior, tenemos finalmente que
~a = −Rθ̇2)ρ̂ y, reemplazando el valor de la velocidad angular encontrado en ii) finalmente obtenemos, ~a = − Rv0^2/(R2 + (h/2π)2)ρ̂.