¿Cuál es el teorema que establece que una función entera no constante asume todos los valores complejos con, a lo sumo, una excepción? a) Teorema...

La respuesta correcta es (a), el Teorema de Liouville. Este teorema establece que una función entera no constante asume todos los valores complejos con, a lo sumo, una excepción.

El Teorema de Picard establece que una función holomorfa no constante con una singularidad esencial en un punto asume todos los valores complejos infinitamente a menudo en cualquier vecindad de ese punto. El Teorema de Residuos es un teorema que relaciona las integrales de funciones holomorfas en contornos cerrados con los residuos de esas funciones en los polos dentro del contorno.

Por lo tanto, la respuesta correcta es (a).

Aquí hay una explicación más detallada del Teorema de Liouville:

Sea f(z) una función entera no constante. Entonces, f(z) tiene una serie de Taylor en torno al origen:

f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ...

La serie de Taylor de f(z) converge en todo el plano complejo. Por lo tanto, podemos tomar el límite de f(z) cuando z tiende a infinito:

lim_{z \to \infty} f(z) = a_0

Si a_0 es cero, entonces f(z) es una función constante, lo cual es contrario a la hipótesis. Por lo tanto, a_0 es no cero. Esto significa que f(z) asume todos los valores complejos excepto a_0.

El Teorema de Liouville tiene muchas aplicaciones en matemáticas y física. Por ejemplo, se utiliza para demostrar que la función zeta de Riemann tiene una única raíz negativa real.