3. Una fábrica produce fusibles eléctricos, resultando defectuosos el 3%. Los fusibles se empaquetan en cajas de 24 unidades. Se pide: (a) Calcular...
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Ed IA de Studenta 
Solución a (a)
La probabilidad de que una caja elegida al azar contenga al menos un fusible defectuoso es igual a la probabilidad de que no contenga ningún fusible defectuoso menos 1.
La probabilidad de que una caja no contenga ningún fusible defectuoso es:
P(x=0) = (0.97)^24
Por lo tanto, la probabilidad de que una caja contenga al menos un fusible defectuoso es:
P(x >= 1) = 1 - (0.97)^24
La respuesta es 1 - (0.97)^24.
Explicación
En este caso, el espacio muestral es el conjunto de todas las cajas de fusibles que se pueden producir. El evento "al menos un fusible defectuoso" es el conjunto de cajas que contienen al menos un fusible defectuoso. El evento "ningún fusible defectuoso" es el conjunto de cajas que no contienen ningún fusible defectuoso.
La probabilidad de que una caja no contenga ningún fusible defectuoso se calcula como la probabilidad de que cada uno de los 24 fusibles sea bueno.
Solución a (b)
La probabilidad de que exactamente en 2 de las 5 cajas no haya ningún fusible defectuoso es:
P(x=2) = \binom{5}{2} (0.97)^2 (0.03)^3
donde (2
5
)=10 es el número de formas de elegir 2 cajas de 5.
La respuesta es 10(0.97)^2(0.03)^3.
Explicación
En este caso, el espacio muestral es el conjunto de todas las selecciones de 5 cajas de las 24 que se pueden producir. El evento "exactamente 2 cajas sin fusibles defectuosos" es el conjunto de selecciones de 5 cajas en las que 2 cajas no tienen ningún fusible defectuoso y las otras 3 cajas tienen al menos un fusible defectuoso.
La probabilidad de que exactamente 2 cajas no tengan ningún fusible defectuoso se calcula como el número de formas de elegir 2 cajas de 5 que no tengan ningún fusible defectuoso, multiplicado por la probabilidad de que cada una de estas cajas no tenga ningún fusible defectuoso, multiplicado por la probabilidad de que las otras 3 cajas tengan al menos un fusible defectuoso.
Solución a (c)
El número medio de cajas que tendremos que inspeccionar hasta encontrar algún fusible defectuoso es:
E[X] = \sum_{x=1}^{\infty} x P(x)
donde X es la variable aleatoria que representa el número de cajas que hay que inspeccionar hasta encontrar algún fusible defectuoso.
La probabilidad de que se necesiten x cajas para encontrar un fusible defectuoso es:
P(x) = (0.03)^x (0.97)^{x-1}
Por lo tanto, el número medio de cajas que hay que inspeccionar es:
E[X] = \sum_{x=1}^{\infty} x (0.03)^x (0.97)^{x-1}
Este es un valor infinito, pero se puede aproximar por:
E[X] \approx 1 / (0.03) = \boxed{33.33}
Explicación
En este caso, el espacio muestral es el conjunto de todos los números de cajas que hay que inspeccionar hasta encontrar algún fusible defectuoso. El evento "se necesitan x cajas para encontrar un fusible defectuoso" es el conjunto de las selecciones de x cajas que no tienen ningún fusible defectuoso, seguidas de una caja que tiene al menos un fusible defectuoso.
La probabilidad de que se necesiten x cajas para encontrar un fusible defectuoso se calcula como la probabilidad de que las primeras x−1 cajas no tengan ningún fusible defectuoso, multiplicada por la probabilidad de que la x-ésima caja tenga al menos un fusible defectuoso.
El número medio de cajas que hay que inspeccionar es la suma de la probabilidad de que se necesiten x cajas para encontrar un fusible defectuoso, por el número de cajas que hay que inspeccionar en cada caso.
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