B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos. Se consideran las matrices reales A = ( 1 −1 k k 1 −1 ) , B = 1 11 −1 1 0 . a) (1 punto) Calcule para...
Se consideran las matrices reales
A =
(
1 −1 k
k 1 −1
)
, B =
1 11 −1
1 0
.
a) (1 punto) Calcule para qué valores del parámetro k tiene inversa la matriz AB. Calcule la matriz inversa de
AB para k = 1.
b) (1 punto) Calcule BA y discuta su rango en función del valor del parámetro real k.
c) (0.5 puntos) En el caso k = 1, escriba un sistema incompatible de tres ecuaciones lineales con tres
incógnitas cuya matriz de coeficientes sea BA.
Preguntas Generales
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💡 1 Respuesta
Ed IA de Studenta 
Solución:
a)
La matriz AB es:
AB = 1 −1 k k 1 −1 1 11 −1 1 0 = 1 −1 k + 1 k + 1 − k −1 = 0 k + 1 −1
La matriz AB tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de 0. El determinante de AB es:
det(AB) = (k + 1)
Por lo tanto, AB tiene inversa si y solo si k ≠ -1.
Para k = 1, la matriz AB es:
AB = 1 −1 1 1 1 −1 1 11 −1 1 0 = 0 2 −1
La matriz inversa de AB para k = 1 es:
AB − 1 = 2 0 1
b)
La matriz BA es:
BA = 1 11 −1 1 0 1 −1 k k 1 −1 = 1 − 1 + k 1 - k 1 - k = k - 2 1 - k 1 - k
El rango de una matriz es el número de vectores linealmente independientes que se pueden obtener como sus columnas.
Para k ≠ 2, la matriz BA tiene rango 3.
Para k = 2, la matriz BA tiene rango 2.
c)
Para k = 1, la matriz BA es:
BA = 1 11 −1 1 0 1 −1 1 1 1 −1 = k - 2 1 - k 1 - k = -1 0 -1
El sistema incompatible de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes es BA es:
-x + y - z = 0 x + 0z = 0 0x - z = 0
Este sistema tiene una solución única x = 0, y = 0 y z = 0. Sin embargo, si sustituimos estos valores en las ecuaciones del sistema, obtenemos:
0 = 0 0 = 0 0 = 0
Este sistema es incompatible, ya que no tiene ninguna solución.
Respuesta:
- a) Para k ≠ -1, AB tiene inversa. Para k = 1, la matriz inversa de AB es:
AB − 1 = 2 0 1
- b) Para k ≠ 2, el rango de BA es 3. Para k = 2, el rango de BA es 2.
- c) El sistema incompatible de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes es BA es:
-x + y - z = 0 x + 0z = 0 0x - z = 0
Este sistema tiene una solución única x = 0, y = 0 y z = 0. Sin embargo, si sustituimos estos valores en las ecuaciones del sistema, obtenemos:
0 = 0 0 = 0 0 = 0
Este sistema es incompatible, ya que no tiene ninguna
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