B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos. Sea la función f(x) = { x si x ≤ 0 x ln(x) si x > 0 . a) (0.5 puntos) Estudie la continuidad y la derivabi...

Solución:

a)

La función f(x) es continua en x = 0, ya que la función es continua por tramos y los dos tramos se unen de forma continua en x = 0.

La función f(x) es derivable en x = 0, ya que la función es derivable por tramos y los dos tramos son derivables en x = 0.

b)

La función f(x) es creciente para x > 0 y decreciente para x < 0.

La función f(x) tiene un máximo relativo en x = 1, ya que f'(1) = 0 y f'(x) > 0 para x > 1 y f'(x) < 0 para x < 1.

La función f(x) no tiene mínimo relativo.

c)

Para calcular la integral, podemos dividirla en dos partes:

∫ 2
1
f(x)dx =
∫ 2
0
f(x)dx +
∫ 0
1
f(x)dx

La primera integral es:

∫ 2
0
f(x)dx =
∫ 2
0
x
dx =
x 2
2
|
2
0
=
2

La segunda integral es:

∫ 0
1
f(x)dx =
∫ 0
1
x ln(x)dx =
x 2
2
ln(x)
2
|
0
1
=
1
2
ln(1) - 1
2
ln(0) = 1
2
ln(1)

Por lo tanto, la integral es:

∫ 2
1
f(x)dx = 2 +
1
2
ln(1) =
2 +
1
2
=
5
2

Respuesta:

• a) La función f(x) es continua y derivable en x = 0.
• b) La función f(x) es creciente para x > 0 y decreciente para x < 0. La función f(x) tiene un máximo relativo en x = 1.
• c) La integral es 5/2.