B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Se considera la función
f(x) =
{
senx si x

Question

B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.Se considera la funciónf(x) ={senx si x x ex si x ≥ 0a) (0.75 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f en x = 0.b) (1 punto) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f restringida a (−π, 2). Demuestre que existe un punto x0 ∈ [0, 1] de manera que f(x0) = 2.c) (0.75 puntos) Calcule∫ 1−π2f(x)dx.

Ed IA de Studenta · Answer

Solución a)La función f(x) es continua en x = 0 si y solo si las funciones senx y x ex son continuas en x = 0.La función senx es continua en todo el dominio real, por lo que es continua en x = 0.La función x ex es continua en todo el dominio real, por lo que es continua en x = 0.Por lo tanto, la función f(x) es continua en x = 0.La función f(x) es derivable en x = 0 si y solo si las funciones senx y x ex son derivables en x = 0.La función senx es derivable en todo el dominio real, por lo que es derivable en x = 0.La función x ex es derivable en todo el dominio real, por lo que es derivable en x = 0.Por lo tanto, la función f(x) es derivable en x = 0.Solución b)La función f(x) es continua en todo el intervalo (−π, 2).La función senx es creciente en el intervalo (−π, 0), por lo que f(x) es creciente en el intervalo (−π, 0).La función x ex es creciente en el intervalo (0, 2), por lo que f(x) es creciente en el intervalo (0, 2).Por lo tanto, los intervalos de crecimiento de f(x) restringida a (−π, 2) son (−π, 0) y (0, 2).Para demostrar que existe un punto x0 ∈ [0, 1] de manera que f(x0) = 2, consideremos la función g(x) = f(x) - 2. La función g(x) es continua en el intervalo [0, 1] y toma el valor 0 en el punto x = 0. Por el teorema del valor intermedio, existe un punto x0 ∈ [0, 1] de manera que g(x0) = 0. Entonces, f(x0) = 2.Solución c)Para calcular∫ 1
−π2
f(x)dx
dividimos la integral en dos partes:∫ 1
−π2
f(x)dx =
∫ 1
0
f(x)dx +
∫ 0
−π2
f(x)dx
La primera integral se puede calcular usando la fórmula de la integral de la función senx:∫ 1
0
f(x)dx = ∫ 1
0
senx dx = -cosx | 1
0 = 1 - cos1
La segunda integral se puede calcular usando la fórmula de la integral de la función x ex:∫ 0
−π2
f(x)dx = ∫ 0
−π2
x ex dx = x ex | 0
−π2 = 2
Por lo tanto,∫ 1
−π2
f(x)dx = 1 - cos1 + 2 = 3 - cos1
Respuesta:Solución a:Continuidad: SíDerivabilidad: SíSolución b:Intervalos de crecimiento: (−π, 0), (0, 2)Existencia de x0: SíSolución c:Integral: 3 - cos1

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