B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos. Sea f(x) = x+ x2. Se pide: a) (1 punto) Hallar el área de la región acotada que está limitada por la gra...

Solución:

a) Para hallar el área de la región acotada por la gráfica de f y la recta y = 2x, debemos calcular la integral de la diferencia de las funciones entre los valores de x que delimitan la región.

La gráfica de f es una parábola que se abre hacia arriba, con vértice en el punto (0, 0).

La recta y = 2x corta a la parábola en los puntos (0, 0) y (1, 2).

Por tanto, el área de la región es

A = ∫_0^1 (f(x) - 2x) dx = ∫_0^1 (x + x^2 - 2x) dx = ∫_0^1 x^2 dx

La integral de x^2 es x^3/3.

Por tanto, el área de la región es

A = x^3/3 |_0^1 = 1/3

b) Para determinar en qué punto choca la partícula con la recta vertical x = 2, debemos resolver la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (1, f(1)).

La pendiente de la recta tangente en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

En este caso, la derivada de f es f'(x) = 2x + 2.

Por tanto, la pendiente de la recta tangente en el punto (1, f(1)) es 2 * 1 + 2 = 4.

La ecuación de la recta tangente en el punto (1, f(1)) es de la forma

y - f(1) = 4(x - 1)

Sustituyendo f(1) por 1 + 1^2 = 2, obtenemos

y - 2 = 4(x - 1)

Reordenando la ecuación, obtenemos

y = 4x - 2

La recta vertical x = 2 corta a la recta tangente en el punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y = 2.

Por tanto, el punto de choque es

x = (2 - 2) / 4 = 0

Por tanto, la respuesta es el punto (0, 2).

Respuesta:

a) El área de la región es 1/3.

b) La partícula choca con la recta vertical x = 2 en el punto (0, 2).

Puntuación:

• a) 1 punto
• b) 1.5 puntos

Total: 2.5 puntos