A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos. Dados el punto P (3, 3, 0) y la recta r ≡ x− 2 −1 = y 1 = z + 1 0 , se pide: a) (0.75 puntos) Escribir la e...

Solución

a) La ecuación de la recta r es:

x - 2 = -y + 1 = -z

La pendiente de la recta es -1, por lo que la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r es:

ax + by + cz + d = 0

Sustituyendo las coordenadas del punto P, obtenemos:

3a + 3b + 0c + d = 0

Sustituyendo la ecuación de la recta, obtenemos:

3a - 3b + c + d = 0

Resolvemos el sistema de ecuaciones para a, b, c y d:

a = 3b
c = -3b
d = 9b

Por lo tanto, la ecuación del plano es:

3x - 3y + z - 27 = 0

b) El punto simétrico de P respecto de la recta r es el punto que se encuentra a la misma distancia de P y de la recta r.

La distancia de P a la recta r es:

d = √(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2

La distancia de un punto P(x, y, z) a la recta r es:

d = ∣∣∣∣(x - 2)/-1 + (y - 1)/1 + (z + 1)/0 ∣∣∣∣

Por lo tanto, la ecuación del punto simétrico de P respecto de la recta r es:

x = 2
y = 1
z = -1

c) Para que el triángulo ABP sea rectángulo con el ángulo recto en A, el punto A debe estar en el eje x.

Por lo tanto, el punto A es (2, 0, z). El punto B es el punto de la recta r que está a una distancia de AB = √(2)^2 + (-1)^2 = √5 de A.

La ecuación del punto B es:

x = 2 + √5/-1
y = 0
z = z

Sustituyendo la ecuación de la recta, obtenemos:

2 + √5/-1 = -(z - 1)
z = 1 + √5

Por lo tanto, las coordenadas del punto A son (2, 0, 1 + √5) y las coordenadas del punto B son (2 + √5/-1, 0, 1 + √5).

El área del triángulo ABP es:

A = 1/2 * AB * AP
A = 1/2 * √5 * √(2)^2 + (-1)^2
A = 3√2

Por lo tanto, las coordenadas de los puntos A y B son:

A = (2, 0, 1 + √5)
B = (2 + √5/-1, 0, 1 + √5)

Puntuación:

• a) 0.75 puntos
• b) 1 punto
• c) 0.75 puntos

Total: 2.5 puntos