A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos. Dadas las rectas r ≡ { x− y = 2 3x− z = −1 , s ≡  x = −1 + 2λ y = −4− λ z = λ , se pide: a) (1 punto) ...

Solución

a) (1 punto)

Para calcular la posición relativa de las rectas r y s, debemos calcular el vector director de cada recta.

El vector director de la recta r es (-1, 1, -3).

El vector director de la recta s es (2, -1, 1).

Como los vectores directores son perpendiculares, las rectas r y s son perpendiculares.

b) (0.5 puntos)

Para hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta r y que pasa por el punto P (2,−1, 5), debemos tomar como vector normal al plano el vector director de la recta r.

El vector normal al plano es (-1, 1, -3).

La ecuación del plano es:

(x - 2) - (y + 1) + 3(z - 5) = 0

Resolvemos para obtener la ecuación en forma general:

x - y + 3z - 11 = 0

c) (1 punto)

Para hallar la ecuación del plano paralelo a la recta r que contiene a la recta s, debemos tomar como vector normal al plano el vector director de la recta r.

El vector normal al plano es (-1, 1, -3).

La ecuación del plano es:

(x - (-1 + 2λ)) - (y + 4 + λ) + 3(z - λ) = d

Para que el plano contenga a la recta s, esta ecuación debe cumplirse para cualquier valor de λ.

Por lo tanto, sustituimos el punto (-1 + 2λ, -4 - λ, λ) en la ecuación del plano:

(-1 + 2λ) - (-4 - λ) + 3(λ) = d

Resolvemos para obtener la ecuación en forma general:

3λ + 2 = d

Por lo tanto, la ecuación del plano es:

3x + 2y + z = 2

Respuesta

a) Las rectas r y s son perpendiculares. b) La ecuación del plano perpendicular a la recta r y que pasa por el punto P (2,−1, 5) es x - y + 3z - 11 = 0. c) La ecuación del plano paralelo a la recta r que contiene a la recta s es 3x + 2y + z = 2.