B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos. Sean las rectas r ≡ { x+ y + 2 = 0 y − 2z + 1 = 0 y s ≡  x = 2− 2ty = 5 + 2t, t ∈ R. z = t a) (1.5 punto...

Solución:

a)

La ecuación de la recta r es:

x + y + 2 = 0
x = -1 - y

La ecuación de la recta s es:

x = 2 - 2ty
y = 5 + 2t
z = t

Para hallar la distancia entre las rectas, debemos hallar dos puntos, uno en cada recta, que estén a la misma distancia de la recta contraria.

Un punto de la recta r es (-1, -1).

Para hallar un punto de la recta s que esté a la misma distancia de (-1, -1), debemos resolver el sistema de ecuaciones:

x = -1 - y
y = 5 + 2t
z = t
-1 - y = 5 + 2t
y = 6 - 2t
t = 3

Por lo tanto, un punto de la recta s que está a la misma distancia de (-1, -1) es (-1, 6 - 6).

La distancia entre (-1, -1) y (-1, 6 - 6) es:

√((-1 - (-1))^2 + ((6 - 6) - (-1))^2) = √(2^2 + 1^2) = √5

Por lo tanto, las rectas r y s son paralelas y la distancia entre ellas es √5.

b)

La ecuación de la recta r es:

x + y + 2 = 0
x = -1 - y

La ecuación de la recta s es:

x = 2 - 2ty
y = 5 + 2t
z = t

Las rectas r y s tienen la misma pendiente, por lo que el plano que las contiene es paralelo al plano definido por la recta r.

La ecuación de la recta r es de la forma:

x + y + a = 0

Por lo tanto, la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s es de la forma:

x + y + a = 0

Para determinar el valor de a, podemos sustituir un punto de la recta s en la ecuación del plano.

Por ejemplo, podemos sustituir el punto (-1, 6 - 6):

-1 + (6 - 6) + a = 0
a = 1

Por lo tanto, la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s es:

x + y + 1 = 0

c)

Los puntos P y Q de las rectas r y s, respectivamente, que están contenidos en el plano de ecuación x + y + 1 = 0 son:

P = (-1, -2)
Q = (-1, 5)

La distancia entre P y Q es:

√((-1 - (-1))^2 + ((-2) - 5)^2) = √(2^2 + 9^2) = √85

Por lo tanto, la distancia entre los puntos P y Q es √85.

Respuesta:

• a) Las rectas r y s son paralelas y la distancia entre ellas es √5.
• b) La ecuación del plano que contiene a las rectas r y s es:

x + y + 1 = 0

• c) La distancia entre los puntos P y Q es √85.