B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos. Sean los planos π1 ≡ x+ y = 1 y π2 ≡ x+ z = 1. a) (1.5 puntos) Halle los planos paralelos al plano π1 tales...

Solución a)

Los planos paralelos al plano π1 tienen la misma ecuación, pero un vector normal diferente. El vector normal al plano π1 es (1, 1, 0). Para que un plano sea paralelo a π1, su vector normal debe ser un múltiplo escalar de (1, 1, 0). Por lo tanto, la ecuación de un plano paralelo a π1 es de la forma

x + y + d = 1

donde d es la distancia entre el plano y el origen.

Para que la distancia entre el plano y el origen sea 2, d debe ser igual a 3. Por lo tanto, la ecuación de los planos paralelos a π1 que cumplen la condición es

x + y + 3 = 1

Solución b)

La ecuación del plano π2 es

x + z = 1

El vector normal al plano π2 es (1, 0, 1). Para que una recta sea perpendicular al plano π2, su vector director debe ser ortogonal al vector normal al plano. Por lo tanto, el vector director de la recta que pasa por el punto (0, 2, 0) y es perpendicular al plano π2 es

(0, 1, -1)

La ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 2, 0) con vector director (0, 1, -1) es

x = y - 2

Solución c)

Los puntos de intersección del plano π1 con los ejes x e y son (1, 0, 0) y (0, 1, 0), respectivamente. La distancia entre estos dos puntos es

√(1^2 + 1^2) = √2

Por lo tanto, la distancia entre los puntos de intersección del plano π1 con los ejes x e y es √2.

Respuesta:

• Solución a:

x + y + 3 = 1

• Solución b:

x = y - 2

• Solución c:

√2