B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos. Dados los planos π1 ≡ x− 2y + 3z = 6, π2 ≡ 3x− z = 2 y el punto A(1, 7, 1), se pide: a) (0.5 puntos) Compro...

Solución:

a) Para comprobar que π1 y π2 son perpendiculares, calculamos el producto escalar de sus vectores normales.

El vector normal al plano π1 es (1, -2, 3).

El vector normal al plano π2 es (3, 0, -1).

Por tanto, el producto escalar de los dos vectores normales es

(1, -2, 3) ⋅ (3, 0, -1) = 3 - 6 = -3

Como el producto escalar es negativo, los planos son perpendiculares.

b) Para calcular el volumen de un cubo que tenga una cara en el plano π1, otra cara en el plano π2, y un vértice en el punto A, primero debemos encontrar la distancia entre los planos.

La distancia entre dos planos es igual al valor absoluto del producto escalar de sus vectores normales dividido por el módulo del vector normal al plano que contiene al punto que se quiere calcular la distancia.

En este caso, la distancia entre los planos es

|(1, -2, 3) ⋅ (3, 0, -1)| / |(3, 0, -1)| = |-3| / |3| = 1

Por tanto, la arista del cubo tiene una longitud de 1 unidad.

El volumen del cubo es, por tanto,

V = a³ = 1³ = 1

c) Para calcular el punto simétrico de A respecto de π1, primero debemos encontrar la ecuación de la recta que contiene al punto A y es perpendicular al plano π1.

La ecuación de una recta perpendicular a un plano es de la forma

r(t) = A + t · n

donde A es un punto de la recta, n es el vector normal al plano, y t es un parámetro.

En este caso, el punto A es (1, 7, 1), y el vector normal al plano π1 es (1, -2, 3).

Por tanto, la ecuación de la recta que contiene al punto A y es perpendicular al plano π1 es

r(t) = (1, 7, 1) + t · (1, -2, 3)

Para encontrar el punto simétrico de A respecto de π1, sustituimos t = -1 en la ecuación de la recta.

r(-1) = (1, 7, 1) - (1, -2, 3) = (0, 9, 4)

Por tanto, el punto simétrico de A respecto de π1 es (0, 9, 4).

Respuesta:

a) π1 y π2 son perpendiculares.

b) El volumen del cubo es 1.

c) El punto simétrico de A respecto de π1 es (0, 9, 4).

Puntuación:

• a) 0.5 puntos
• b) 1 punto
• c) 1 punto

Total: 2.5 puntos