Utilizando la derivación logarítmica, deducir la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones.

Para deducir la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones utilizando la derivación logarítmica, sigue estos pasos:

Supongamos que tienes dos funciones �(�)

f(x) y �(�)

g(x), y deseas encontrar la derivada de su producto ℎ(�)=�(�)⋅�(�)

h(x)=f(x)⋅g(x). Ahora, definimos ℎ(�)

h(x) en términos de una función logarítmica:

ln⁡(ℎ(�))=ln⁡(�(�)⋅�(�))

ln(h(x))=ln(f(x)⋅g(x))

Aplicamos la regla del logaritmo del producto, que establece que ln⁡(��)=ln⁡(�)+ln⁡(�)

ln(ab)=ln(a)+ln(b):

ln⁡(ℎ(�))=ln⁡(�(�))+ln⁡(�(�))

ln(h(x))=ln(f(x))+ln(g(x))

Ahora, derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a �

x:

���ln⁡(ℎ(�))=���(ln⁡(�(�))+ln⁡(�(�)))

dx

d

​ln(h(x))=dx

d

​(ln(f(x))+ln(g(x)))

Utilizamos la regla de la cadena en el lado izquierdo y la regla de la suma en el lado derecho:

1ℎ(�)⋅���ℎ(�)=1�(�)⋅����(�)+1�(�)⋅����(�)

h(x)

1

​⋅dx

d

​h(x)=f(x)

1

​⋅dx

d

​f(x)+g(x)

1

​⋅dx

d

​g(x)

Multiplicamos ambos lados por ℎ(�)

h(x) para despejar ���ℎ(�)

dx

d

​h(x):

���ℎ(�)=ℎ(�)(1�(�)⋅����(�)+1�(�)⋅����(�))

dx

d

​h(x)=h(x)(f(x)

1

​⋅dx

d

​f(x)+g(x)

1

​⋅dx

d

​g(x))

Finalmente, sustituimos ℎ(�)=�(�)⋅�(�)

h(x)=f(x)⋅g(x):

���(�(�)⋅�(�))=�(�)⋅����(�)+�(�)⋅����(�)

dx

d

​(f(x)⋅g(x))=f(x)⋅dx

d

​g(x)+g(x)⋅dx

d

​f(x)

Esta es la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones, conocida como la regla del producto.