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Utilizando la derivación logarítmica, deducir la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones.

Esta pregunta también está en el material:

11 Cálculo de derivadas Autor Universidad de Sevilla - Anny js
11 pag.

💡 1 Respuesta

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Rogeria Carolino

Para deducir la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones utilizando la derivación logarítmica, sigue estos pasos:

Supongamos que tienes dos funciones �(�)


f(x) y �(�)


g(x), y deseas encontrar la derivada de su producto ℎ(�)=�(�)⋅�(�)


h(x)=f(x)⋅g(x). Ahora, definimos ℎ(�)


h(x) en términos de una función logarítmica:

ln⁡(ℎ(�))=ln⁡(�(�)⋅�(�))


ln(h(x))=ln(f(x)⋅g(x))

Aplicamos la regla del logaritmo del producto, que establece que ln⁡(��)=ln⁡(�)+ln⁡(�)


ln(ab)=ln(a)+ln(b):

ln⁡(ℎ(�))=ln⁡(�(�))+ln⁡(�(�))


ln(h(x))=ln(f(x))+ln(g(x))

Ahora, derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a �


x:

���ln⁡(ℎ(�))=���(ln⁡(�(�))+ln⁡(�(�)))


dx


d

​ln(h(x))=dx


d

​(ln(f(x))+ln(g(x)))

Utilizamos la regla de la cadena en el lado izquierdo y la regla de la suma en el lado derecho:

1ℎ(�)⋅���ℎ(�)=1�(�)⋅����(�)+1�(�)⋅����(�)


h(x)


1

​⋅dx


d

h(x)=f(x)


1

​⋅dx


d

f(x)+g(x)


1

​⋅dx


d

g(x)

Multiplicamos ambos lados por ℎ(�)


h(x) para despejar ���ℎ(�)


dx


d

h(x):

���ℎ(�)=ℎ(�)(1�(�)⋅����(�)+1�(�)⋅����(�))


dx


d

h(x)=h(x)(f(x)


1

​⋅dx


d

f(x)+g(x)


1

​⋅dx


d

g(x))

Finalmente, sustituimos ℎ(�)=�(�)⋅�(�)


h(x)=f(x)⋅g(x):

���(�(�)⋅�(�))=�(�)⋅����(�)+�(�)⋅����(�)


dx


d

​(f(x)⋅g(x))=f(x)⋅dx


d

g(x)+g(x)⋅dx


d

f(x)

Esta es la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones, conocida como la regla del producto.







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