¿Cuántos números de 3 cifras existen, tal que el complemento aritmético sea igual al producto de sus cifras? a) 1 b) 2 c) 3 d) 99 e) 990

La respuesta correcta es (c), 3.

Solución:

Sea el número de 3 cifras xyz.

El complemento aritmético de xyz es:

1000x + 100y + 10z - (999x + 99y + 9z)
= 9x + z

El producto de las cifras de xyz es:

xyz

Por lo tanto, tenemos la ecuación:

9x + z = xyz

Para que esta ecuación tenga solución, z debe ser igual a 9.

Por lo tanto, los posibles valores de x son 1, 2, 3, ..., 9.

Por lo tanto, existen 9 números de 3 cifras que cumplen con la condición.

Explicación:

Se puede simplificar la solución de la siguiente manera:

• El complemento aritmético de un número de 3 cifras es igual al producto de sus cifras si y solo si la última cifra es 9.
• Por lo tanto, los posibles valores de la última cifra son 1, 2, 3, ..., 9.
• Como hay 9 posibles valores para la última cifra, entonces hay 9 números de 3 cifras que cumplen con la condición.

Por lo tanto, la respuesta es (c), 3.