UNIDAD 8 - REGRESIÓN LINEAL 4. ¿Qué es el modelo de cuadrados mínimos, que distribución sigue Eij y cómo influyen los Eij en la recta? El modelo d...

Modelo de cuadrados mínimos y distribución de los errores (Eij)

1. Modelo de cuadrados mínimos:

El modelo de cuadrados mínimos (MC) busca la recta de regresión que mejor se ajusta a los datos, minimizando la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre cada punto y la recta.

2. Minimización de residuos:

La recta de regresión se ajusta de tal manera que la suma de los cuadrados de los residuos (Eij) sea la mínima posible.

• Residuos (Eij): Diferencia entre el valor observado de Y (Yij) y el valor estimado de Y (Yik) sobre la recta para un valor de X.

3. Distribución normal de los errores (Eij):

Los errores (Eij) se asumen como independientes y con una distribución normal con media cero y varianza constante.

• Media cero: Los errores no tienen un sesgo general, es decir, se distribuyen simétricamente alrededor de la recta de regresión.
• Varianza constante: Homocedasticidad, la varianza de los errores es la misma para todos los valores de X.

4. Influencia de los Eij en la recta:

• Distancia vertical: Los Eij determinan la distancia entre cada punto y la recta de regresión.
• Minimización de errores: La recta de regresión se ajusta para minimizar la suma de los cuadrados de los errores, lo que busca que la mayoría de los puntos se encuentren cerca de la recta.

5. Supuestos del modelo de cuadrados mínimos:

• Linealidad: La relación entre X e Y es lineal.
• Normalidad: Los errores (Eij) siguen una distribución normal.
• Independencia: Los errores (Eij) son independientes entre sí.
• Homocedasticidad: La varianza de los errores (Eij) es constante para todos los valores de X.

6. Implicaciones de la distribución normal:

• Permite realizar inferencias estadísticas sobre los parámetros de la recta de regresión (β0 y β1).
• Permite calcular intervalos de confianza para la pendiente y la intersección.
• Permite realizar tests de hipótesis sobre los parámetros de la recta.

En resumen:

• El modelo de cuadrados mínimos busca la recta que mejor se ajusta a los datos minimizando la suma de los cuadrados de los residuos.
• Los errores (Eij) son la diferencia entre el valor observado de Y y el valor estimado sobre la recta.
• Los Eij se asumen como independientes y con una distribución normal con media cero y varianza constante.
• Los Eij influyen en la recta ya que determinan la distancia entre cada punto y la recta de regresión.

Nota:

El cumplimiento de los supuestos del modelo de cuadrados mínimos es fundamental para la validez de las inferencias estadísticas realizadas sobre la recta de regresión.