UNIDAD 8 - REGRESIÓN LINEAL 6. ¿Es más preciso el intervalo para beta o para Yk? El intervalo para beta es más preciso que el intervalo para Yk. E...

Precisión del intervalo de confianza para β y Yk en la regresión lineal

1. Diferencias en la precisión:

En general, el intervalo de confianza para β (coeficiente de regresión) es más preciso que el intervalo de confianza para Yk (valor predicho para una variable dependiente específica).

2. Razones de la mayor precisión de β:

• Distribución t de Student: El intervalo de confianza para β se basa en la distribución t de Student, que tiene una forma más "aplastada" que la distribución normal. Esto significa que la probabilidad de que el valor real de β se encuentre dentro del intervalo es mayor que con la distribución normal.
• Menor error estándar: El error estándar de β es típicamente menor que el error estándar de Yk. Esto se debe a que β se basa en la información de todos los datos, mientras que Yk se basa solo en la información de un punto específico.

3. Interpretación de la precisión:

• Un intervalo de confianza más preciso significa que hay una mayor probabilidad de que el valor real del parámetro se encuentre dentro del intervalo.
• La mayor precisión de β indica que podemos tener más confianza en la estimación del efecto de la variable independiente sobre la variable dependiente.

4. Limitaciones a la precisión:

• La precisión de ambos intervalos de confianza depende de la calidad de los datos y del tamaño de la muestra.
• La precisión puede verse afectada por la presencia de valores atípicos, heterocedasticidad o colinealidad en los datos.

5. Ejemplo:

Supongamos que se realiza una regresión lineal para predecir el precio de una vivienda a partir de su superficie. El intervalo de confianza para β (coeficiente de regresión) es de 100 a 150 euros por metro cuadrado, mientras que el intervalo de confianza para Yk (valor predicho para una vivienda de 100 metros cuadrados) es de 150.000 a 200.000 euros.

En este caso, podemos tener más confianza en la estimación del efecto de la superficie sobre el precio de la vivienda (β) que en la predicción del precio de una vivienda específica (Yk).

En resumen:

• El intervalo de confianza para β es generalmente más preciso que el intervalo de confianza para Yk.
• La mayor precisión de β se debe a la distribución t de Student y al menor error estándar.
• La precisión de ambos intervalos depende de la calidad de los datos y del tamaño de la muestra.

Nota:

Es importante tener en cuenta la precisión de los intervalos de confianza al interpretar los resultados de la regresión lineal.