Problemas de Algebra Superior - MIR [Faddieev, Sominski]

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PROBLEMAS
de
ALGEBRA
SUPERIOR
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EDITORIAL M1R
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f l . K . O A JU IE I-B , H. C . CO M H H C K H fi
C B O PH H K 3AAAM 
n o B bIC W E fl A ^ITEB PE
H adanue desamor
H3flATEJlbCTBO «HAyKA»
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D . F A D D I E E V , I . S O M IN S K I
PROBLEMAS
de
ALGEBRA 
SUPERIOR
T rad u c id o del ruso 
por
E M IL IA N O A P A R IC IO B E R N A R D O .
C an d id a to a D octor 
en C iencias F ísico -M atem á tica s, 
C a ted rá tico 
d e M ate m áticas S u p erio re s
ED IT O R IA L «MIR» • iMOSCU 1971
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CDli 5l2.8(07.í.h)*GO
Impreso en Ja U R55 
Derecho» r cu rvadas
Ha ucnaitcKOM m u »
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I N D I C E
I n t r o d u c c i ó n ................................................................................................................... 9
PRIMERA PARTE 
PR O B L EM A S
C a p itu lo I . N úm eros com plejos
§ I . O peraciones con los núm eros c o m p l e j o s ............................................... II
§ 2 . L os núm eros com plejos en form a t r i g o n o m é t r ic a ............................ 13
§ 3. E cuaciones de tercero y cu a rto g rad o ............................ 18
§ 4. R alees d e la u n i d a d ....................................................................................... 19
C a p itu lo 2 . C álculo de determ inan tes
§ I. D ete rm inan les d e 2o y 3° ó r d e n e s ............................................................ 23
§ 2 . P e r m u ta c io n e s .................................................................................................... 24
§ 3. D efin ición de un d e t e r m i n a n t e ................................................................ 25
§ 4. P rop iedades fun d am en ta les de los d e t e r m i n a n t e s ............................ 26
§ 5 . C á lcu lo de d e te r m in a n te s ............................................................................... 28
§ 6 . M u ltip licac ión d e d e t e r m in a n le s ................................................................. 45
§ 7. P rob lem as d iv e r s o s ........................................................................ 49
C a p itu lo 3 . S istem as de creaciones lineales
§ I . Teorem a de C ram er ................................ 54
§ 2 . R an g o de u n a m a lr iz ................................................................................... 57
§ 3 . S is tem as d e lo rm as l i n e a l e s ......................................................................... 59
§ 4 . S istem as d e ecuaciones l i n e a l e s ................................................................. 60
C a p itu lo 4. M atrices
§ 1. O peraciones co n la s m a trices c u a d r a d a s ............................................... 68
§ 2 . M atrices rec tangu la res . A lgunas d e s i g u a l d a d e s ................................ 74
C a p itu lo 5 . Polinom ios y funciones racionales d e u n a variab le
§ I . O peraciones con los polinom ios. F órm ula d e T ay lo r. Ralees
m ú l t i p l e s .............................................................................................................. 78
6
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§ 2 . D em ostración del teorem a fu n d am en ta l d e l á lg eb ra su p erio r y
cuestiones c o n t i g u a s ............................................................................... 81
5 3. Descom posición en tac to res lineales. D escom posición en factores
irreducib les en el cam po d e los núm eros rea les. R elac iones en tre
tos coeficien tes y las r a í c e s .......................................................................... 82
§ 4. A lgo ritm o de E u c l l d e s .................................................................................. 86
§ 5. P rob lem a d e In te rpo lac ión y función rac ional fracc ionaria . . . 88
§ 6. R alees racionales d e los polinom ios. R ed u c tib llid a d e IrreducH -
b iiid a d en el cam po de los núm eros rac io n a le s ............................. 91
§ 7 . C o ta s de la s ra íces d e u n p o l in o m io ...................................................... 94
§ 8 . T eorem a d e S l u r m ............................................................................................ 95
§ 9 . D iversos teo rem as sob re la d is tr ib u c ió n d e la s ra íces d e un po­
linom io ................................................................................................. 98
§ 10. C álcu lo ap rox im ado de la s ra íces d e u n p o l i n o m i o ...................... 101
C a p ítu lo 6. Funciones sim étricas
§ I . E xp resión d e la s [unciones s im é tric a s m e d ian te la s fu n d am en ta ­
les. C álcu lo d e la s funciones s im é tricas de la s ra lees d e una
ecuación a lgeb ra ica ........................................................................................ 103
§ 2. S u m as d e p o tencias . . . .• 107
§ 3 . T rasfo rm aciones d e e c u a c io n e s ..................................................................... 109
§ 4 . R esu ltan te y d isc rim in a n te . . 110
§ 5 . T ransfo rm ación de T sch irn h au sen y rac iona lizac ión d el denom i­
n ad o r .............................................................................. 114
§ 6 . P o lin o m io s q u e n o v a rían e n la s p erm u taciones p ares d e las
v a riab le s . P o lin o m io s q u e n o v a rían en la s perm utaciones c ircu ­
lares d e la s v a riab le s .................................................................................... 116
C a p itu lo 7 . A lgebra lineal
§ 1. Subespacios y v a riedades linea les . T ransfo rm ación de co o rd en ad as 118
§ 2 . G eom etría e lem en ta l del espacio eu c lideo n -d im en sio n a l . . . . 120
5 3 . N úm eros ca ra c te rís tic o s y vec to res prop ios d e u n a m a tr iz . . . 124
§ 4. F o rm as cu a d rá tic a s y m a tric e s s i m é t r i c a s ......................................... 125
§ 5 . T ransform aciones lin ea les . Forrna canón ica de J o r d á n .................. 129
SEGUNDA PARTE 
IN D IC A C IO N E S
C a p itu lo I . N úm eros c o m p le jo s ......................................................................... 134
C a p itu lo 2 . C álcu lo d e d e t e r m i n a n te s .......................................................................... 136
C a p itu lo 4 . M atrices .......................................................................................................... 141
C a p ítu lo 5 . P o lin o m io s y (unciones, rac io n a le s d e u n a v a r i a b l e ................... 142
C a p itu lo ti. F unciones s i m é t r i c a s ...................... 145
C a p itu lo 7 . A lgebra l i n e a l ................................................................................................ 147
G
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TERCERA PARTE
R E S P U E S T A S Y R ESO LU C IO N ES
C a p itu lo 1. N úm eros c o m p le jo s .......................................................................................t 149
C a p itu lo 2. C álcu lo de d e t e r m in a n te s .......................................................................... 1G4
C a p itu lo 3 . S is tem as d e ecuaciones l i n e a l e s ............................................................. 1 73
C apitu lo 4 . M a t r i c e s ............................................................................................................... 179
C a p itu lo 5 . P o linom ios y (unciones rac io n a le s de u n a v a r i a b l e . IB5
C a p itu lo 6. F u n d o n e s s i m é t r i c as ................................................................................... 232
C a p itu lo 7 . A lg eb ra l i n e a l ................................................................................................ 254
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I N T R O D U C C I O N
La aparición de la p resen te colección de problem as de álgebra 
superio r es el resu ltado de las c lases llevadas en la U niversidad 
esta ta l de L eningrado y en e l In s titu to Pedagógico. El libro está 
destinado a los e s tu d ian tes de los cursos inferiores de las un iv er­
sidades e in stitu to s pedagógicos para el e stud io dei curso funda­
m ental de á lgeb ra superio r. Los problem as de la colección se dividen 
no tab lem ente en dos tipos. P o r una p a rte , se ha recopilado una 
gran can tid ad de e jercic ios num éricos, destinados a e lab o rar hábitos 
de cálculo, y ios cuales ilu s tran las reg las principales del curso
teórico. Según op inan los au to re s, la can tidad de ejercicios propues­
tos es suficiente para llevar las c lases, deberes de casa y trabajos 
de con tro l.
P o r o tra p a rte , se expone una can tidad considerable de pro­
blem as no m uy difíciles, y o tros d ifíciles, cuya solución exige de
los e s tu d ia n te s ah inco e inven tiva . M uchos de los problem as de
es ta categoría van acom pañados de indicaciones, incluidas en la 
segunda pa rte del lib ro . Los núm eros de los problem as para los 
cuales se dan indicaciones, v ienen m arcados con un asterisco.
Se dan la s soluciones de todos los problem as; para a lgunos de 
e llo s se expone la resolución.
Los autores
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P R I M E R A P A R T E
PROBLEMAS
C A P I T U L O /
NUM EROS COMPLEJOS
§ I . Operaciones con los núm eros com plejos.
1. (I H-2í)jc + ( 3 — b i ) y = 1 — 31. H a lla r x e y , supon iendo qu 
son reales.
2. R eso lver e l sistem a, suponiendo que x , y , z , t son reales:
( l + i ) x + ( l + 2 i ) y + ( l + 3 i ) í - M l - M 0 < = l + 5 ‘ .
( 3 - £ ) * + ( 4 - 2 0 i/ + ( 1 - |- ¿ ) z + 4 ¡7 = 2 - « .
3. C a lcu lar i”, donde n e s un n ú m ero en te ro .
4 . C om probar la Iden tidad
* * + 4 = (x — I - i ) ( x — 1 + £ ) ( * + 1 + * ) ( * + 1 - í ) .
5. C alcular:
a ) ( l + 2 i ) « ; b) <2 + í ) ’ + ( 2 - £ ) ’; c ) ( 1 + 2 / ) » - ( l — 2í) ‘ -
6. A v e rig u ar cu á les deben se r las condiciones para que e l pro­
d u c to de dos núm eros com plejos sea im aginario puro.
7. E fec tu a r las operac iones indicadas:
a) Ü Í Ü 2 - M £ ± ü - e l <»—«>».
a ' 1 —í t g a ' ' a— bt ' C' (3+ 2í)“—(2 + i)» ’
, \ \ 11 - O * - 1 . l i+ í í !
d) T T R F + r - e ) (T r7)5-
8. C alcu lar dontle n es un núm ero en te ro positivo.
9. R eso lver el sistem a de ecuaciones:
a ) ( 3 — í ) jc + ( 4 - ) - 2 0 í f = 2 + 6 í , ( 4 - t - 2 í) * — (2 -t-3 r)¡ / = 5 + 4 í ;
b ) (2 + i) x + (2 — i ) y = 6 , (3 -f- 2 í) * + ( 3 — 21) y = 8 ;
c) x + y l — 2 z = 10, x — j/ + 2 tz = 20 , ix + 2>iy— (1 + t ) z = 30.
II
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10. C alcular:
D f - i + í p y -
• I I . Sea Calcular:
a ) ( a 4 -6ü) + cwí) ( a + 6 tü I + c(o); b ) ( a 4 - i i ) ( a + H ( |1 + 1,“ !);
c) ( a + &<o + ca>i )5+ (<*+&“ ’ + «a)’ ; d) (ato» + 6o)J (¿ws - |-a u ).
12. H allar los núm eros que son conjugados: 
a) con su cuadrado, b) con su cubo.
•1 3 . D em ostrar e l teorem a:
Si como resu ltado de efec tuar una can tidad f in ita de operacio­
nes racionales (o sea , sum ar, re s ta r , m u ltip licar y d iv id ir) con los 
núm eros x t , . . . . x„ resu lta el núm ero u , en tonces, al efectuar
las m ism as operaciones con los núm eros conjugados x ,, x , x„,
resu lta el núm ero u que es conjugado con u.
14. D em ostrar que jca + j ) >= ( s ‘ + /4)n, si x + i / l = (s+ U )" .
15. Calcular:
a) y ? 1; b) V — 8 í; c) K 3 — 4i; d) / — 1 5 + 8 Í ; 
e) y — 3 — Ti; f) V — 1 1 + 6 0 1 ; g) V — 8 + 6 i ;
h) y — 8 — 6i; i) j) K 8 + 6 Í ; k) \ ' 2 — 3Í;
1) k T + 7 + V Í — <; rn) Y 1 — / > 3 ; n ) Y ^ ;
o) Y 2 - ¿ V / l2 .
16. \ ' a + 61 = ± ( a + p¡). ¿A qué es Igual / — a — bi?
17.’ Resolver las ecuaciones:
a) - ( 2 + / ) * + ( — l + 7 í ) ~ 0 ;
b) a:*— (3 — 2f)x + (5— 5») = 0;
c) ( 2 + i)Xa— (6 — í) x - |- ( 2 — 2i) = 0.
•18 . R esolver las ecuaciones y descomponer sus prim eros m iem ­
bros e n factores de coeficientes reales:
a ) x ‘ + 6 í s -|-9x i1+ 1 0 0 = 0; b) x ' + 2x‘— 24a:-i-72 = 0.
19. R esolver las ecuaciones: 
a) **— 3x,!- f 4 = 0; b) ^ ‘ — 3 0 ^ + 289 = 0.
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20. C om poner una fórm ula para la resolución de la ecuación 
b icuadrada x ‘ -f-px- + q = 0 con coeficientes reales, que sea cómoda 
para el caso e n que p '¡4 — 1? < 0 .
§ 2. Los núm eros com plejos en form a trigonom étrica
21. T razar los puntos que rep resen tan a los núm eros com plejos:
1. - 1 . — J / 2 , i , — i, ¡ V i , — 1 + i , 2 — 3i.
22. E x p resar los s ig u ien te s núm eros en form a trigonom étrica:
a) 1; b) — 1; c) l ; d ) — i; e) 1 + R
f) — l + í ; g) - ! - i ; h) 1 — ¿; i) I + í V 3 y
j) - 1 + i I ‘37 k) - 1 - i v '3 i I) I - Í \ T ; m) 2i;
n) — 3 ; o) V H — i-, p) 2 + V 3 + I.
23. E m pleando tab las , ex p resa r los núm eros s ig u ien te s en forma 
trigonom étrica:
a) 3 + í; b) 4 — í; c) — 2 + l\ d) — 1 — 2/.
24. H a lla r el lu g ar geom étrico de los puntos que rep resen tan 
a los núm eros com plejos:
a) cuyos m ódulos son iguales a I; b) cuyos argum en tos son 
¡guales a .
25. ^Hallar el lu g ar geom étrico de los puntos que represen tan 
a los núm eros com plejos z que satisfacen a las desigualdades:
a ) | z | < 2 ; b ) | z — / | < l ; c ) | z — 1— í | < I.
26 . R eso lver las ecuaciones: a j | x | — x = 1 + 2»; b ) | x | + x = 2 + ¿.
*27. D em ostrar la iden tidad
I * + ! / 1! + 1 * — y ls = 2 (| x |J + 11/1!).
¿Qué significado geom étrico tiene e s ta id en tidad?
*28. D em ostrar que todo núm ero com plejo z. d is tin to de — 1 
y cuyo m ódulo es igual a 1, puede ex presarse en la form a z = | ± i i , 
donde t es un núm ero real.
29. ¿E n qué condiciones el m ódulo de la sum a de dos núm eros 
com plejos es igual a la d iferencia de los m ódulos de los sum andos?
30. ¿E n qué condiciones e l m ódulo de la sum a de dos núm eros 
com plejos es igual a la sum a de los m ódulos de los sum andos?
*31. a y z ' son dos núm eros com plejos, u = V z z ’. D em ostrar que
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32. D em ostrar que si | z J < 4 - . entonces
33. D em ostrar que
( l -¡-1V’3 ) ( I + 0 (eos q> + 1 sen <p) =
= 2 l ' 2 [ c o s ^ + q > ) + Í 5 e n ( - ^ + « F ) j .
34. S im plificar
eos 9 +-1 sen y 
cus if— i se»i|’ ’
35. Calcular
( l —i ^ 3 ) (e o sif+ i senyt
2 (1—i)(cos<j—(seni|.)
36. Calcular:
1 — H-< K~3 l 1^ ( - 1- . V i >“
( i — í p ( l - í - i ) ' ”
*37. D em ostrar que
a) < l + í ) " = ( c o s ^ + i sen ^ ) ;
b) ( V '3 - / ) ’, = 2 " ( c o s f - ¿ s e n ^ ) ;
n es un núm ero en tero .
*38. Sim plificar ( l + <o)\ donde <o = c o s - ^ + ¿ sen 
39. H aciendo
l . . V T ) , V 3
Ü>1 = — y + í - j - , 0>a = — y — I 2 •
d eterm inar uíH-toS, donde n es un núm ero en te ro .
*40. C alcular (1 + eos a -f- i sen a)*.
*41. D em ostrar que si z + - j - = 2 c o s 8 , en tonces 
z"’ + p ! = 2 cos m8 .
42. D em ostrar que
/ I + < tg s i 11 l + t ig n a
\ 1 —i l g o / — I — ¡ l g / i a ‘
43. E x tra e r las raíces:
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a ) j / 7 ; b) 3/ 2 = 2 l : c ) Y = 4; d ) J / T ; e ) J / — 27.
44. E m pleando tab la s , e x tra e r las raíces:a) J / 2 + í; b ) ] / 3 = 7 ; c) j / 2 + 31:
46. C alcular:
a) l/ f07: b) V c) / iwr-
46. Sab iendo que p e s uno de los v a lo re s de ¡ / « , e sc rib ir to ­
dos los va lo res d e ¡ / a .
47. E x presar m ed ian te e o s* y se n * :
a) co s5 x ; b) cos8x ; c) se n 6 x ; d) sen 7 x .
48. E x presar tg6ip m ed ian te tg(p.
49. C om poner las fórm ulas que expresan co sn x y s e n n x m e­
d ian te e o s* y se n * .
50. R ep resen ta r en form a de un polinom io de p rim er g rado en 
las funciones trig o n o m étricas de los ángulos m ú ltip lo s de x:
a) sen3*; b) sen**; c) c o s 'x ; d) eo s"x .
*51. D em o strar que:
a) eos2"1 x = 2 C'¿„ eo s 2 (m — k )x -¡ - C"'„;
m
b) 2*“, c o s !“ +‘ x = ^ CJmtl c o s ( 2 m — 2 f e + ! ) * ;
m— i
c) 25* sen*“ x = 2 2 (— l)"’+ tC5mc o s2 (m — k ) x + C £ ,;
/»1
d) 2 a“ sen 3"** je= 2 (— s e n ( 2 m— 2 k - r l ) x .
k=0
*52. D em ostrar que 2 eos rnx = (2 e o s xy" —
— -y- (2 eos ■-»+- (” ~ 3) (2 eo s X)” -* — . . . +
+ ( — i ) / m {m- p - 11 ...í" ' - .^ .n (2 co s^ - v + . . . .
*53. E x p resa r m ed ian te co sx .
*54. H a lla r las sum as:
a) 1 — C% + C*„ — C¡¡ + . . . ; b) C J— CJ-f-CX— C J - r . . .
*55. D em ostrar que:
a) l - K i + C * + . . . = | ( 2" - l + 2 T c o s ™ ) ;
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b) C ' + C‘ - |-C ' + - - . = j ( 2 ' ' - 14 - 2 T Se n ^ ) ;
c) C S + C J + C » + . . . = i ( 2 " - > - 2 T c o s í ! í i ) ;
d )C J + C í + C i‘ + • = y ( 2 - - * - 2 T s e n ^ ) .
*56. H a lla r la suma
C i - j C * + l c ‘ - I c ; + . . .
57. D em ostrar que ( x + a ) “ -)-(x + aü )) '" + (.v4-aw 3)" = 3x“ + 
■+■ 3CJ,x” " aa 3+ . . . + 3 C J ,x " “ “a “ , donde » = c o s-y ^ -f- tse n y ^ , y n 
es e l m áxim o núm ero en te ro , m ú ltip lo de 3 , que no supera a m.
58. D em ostrar que:
a) l + C * + C‘ + . . . = | ( 2 " + 2 c o s f ' ) ;
b) CJ, + CJ + C J + . . . = j ( 2 - + 2 eos (- ^ i ) ;
c) C S + C J + C S + . . . = 4 (2» + 2 c o s í ^ i ) .
59. C alcular las sumas:
a) 1 -f-acostp + a*cos2q>4- . . . +a*cosfe<r;
b) senq> + asen (q ) + /i) + Q2sen((p + 2 / i ) + . . , - f a* sen (q> +
c) y -t-cos.> :+ cos2 .» : + •• • + c o s n x .
60. D em ostrar que
sen sen 2 x + . . . + s e n n x = -
n + 1 nx —y - x s e n y
sen y
61. H allar
lim ( I + — c o s x - f y eos 2 x + . . . + y eos n x j .
62. D em ostrar que si n es e n te ro y positivo y 0 es u n ángulo
0 1
que satisface a la condición s e n y , entonces
eos y 4- eos y + . . . + eos — ■■ 8 = n sen «0.
63. D em ostrar que
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a) eos i + eos -j- eos ~ -(- eos 7 7 + cos ■77 = y ¡
b) C O S ^j+ C O S -íy + COS^j- + C O S.~ + C O S - ~ = — j |
c j c o s i + c o s ^ + c o s ^ + c o s f + c o s f + c o s i ^ » ! .
64. H a lla r las sum as:
a) c o s a — co3 (a-t-/i) + c o s (a + 2/i)— . . .
. . . + ( - l ) » - * c o s [ a + ( f t - l ) h ] \
b) s e n a — s e n (a + A )+ s e n (a + 2/i) — . . .
. . . + ( — I)"-1 sen [a + (n — l)/i] .
65. D em ostrar que si x es m enor que la unidad en valor abso­
lu to , en tonces las series
a) eos a + x eos ( a + P) + * ’ eos (a -f -2 p) + . . .
. . . eos ( a 4 - n (5) + . . . ,
b) s e n a - ) - . v s e n ( a - | - P ) - f s e n ( a + 2[5) + . . .
. . . + x n sen ( a + np ) -+• . . . 
son conv erg en tes y sus sum as son iguales a
c o s a — x c o s ( a — p ) s e n a — x sen ( a — P)
1— 2 * c o s p + x* ’ 1 — 2at c o s p - f - * a ’
respec tivam en te .
66. H a lla r las sum as:
a) eos a: -f- OJ, eos 2x 4- . . . + C¡¡ eos ( n - f I)* ;
b) sen a :+ C i sen 2x + . . . + C¡¡ sen (ri - f 1)a:.
67. H a lla r las sum as;
a) eos x — C'„ eos 2 x 4- C* eos 3x — . . . + (— ly C S c o s ( n - f 1) x;
b) sen x — C ‘ sen 2x + C* sen 3x — . . . + (— 1)" C"n sen (n 4- J) jc.
*68. O A l y 0 8 son los vecto res que rep resen tan a 1 e i , res­
p ectiv am en te . Desde O se ha levan tado una perpendicu lar O A , 
a A tB; desde A , se ha trazad o una perpendicu lar A ,A , a 0-4,; 
desde A a se ha trazad o una perpendicu lar A aA t a A ,A „ e tc ., se ­
g ún la reg la : desde A„ se ha trazad o una perpendicu lar /4„4„ +1 
a H a lla r e l lim ite de la suma
O A , + A ,A t + A ,A !l+ ■ ■ ■
*69. H a lla r la sum a
sen* x 4 - sen* 3a: 4- . . . 4- sen ’ (2n — \ ) x .
Í7
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70. D em ostrar que
„ , , , , , , n , e o s ( n + 1) *■ sen nx .
a) eo s- x + eos2 2* + . . . + eos’ n x = -^-\------------------ ’
„ _ u eos (N— l)xsennx
b) sen* x 4 - sen* 2 * + . . . + sen- i ix = y SlérTí *
*71. H a lla r las sum as:
a) eos3 x + eos3 2* + . . . + eos3 nx;
b) sen3 * + sen" 2 * + . . . + sen3 n*.
*72. H a lla r las sum as:
a) eo s x + 2 eos 2* + 3 eos 3* + . . . + n eos nx;
b) sen x + 2 sen '2x + 3 s e n 3 * 4 - . . . + n sen rc* .
73. H a lla r lim ( 1 + — ) ' para a = a + 6t.
n — 06 V /
74. Definición: e’ = lim ( 1 + ^ r ) " - D em ostrar que:
II - » ' •
a) etrA = i ; b) erl= — 1;
c) e'+l=*-e'-efi; d) (ír’ )s = e"* para k en te ro .
§ 3. Ecuaciones de tercero y cuarto grado
75. R esolver las ecuaciones s ig u ien tes por la fórm ula de C ar­
darlo:
a) x»— 6x 9 -= 0 ; b ) *•' + 12x + 63 = 0;
c) Xa + 9x= + 1 8 * + 2 8 = 0 ; d) Xa + 6x* 30* + 25 = 0;
e) * 3— 6* + 4 = 0; f) * 3 + 6* + 2 = 0 ;
g) a 3 + 1 8a- + 15 = 0; h ) *»— 3**— 3 x + 1 1 = 0 ;
i) x J + 3**— 6a + 4 = 0 ; ]) * J - 9 * — 26 = 0;
k) a ' + 24a - 5 6 = 0; I) * ' '+ 4 5 * — 98 = 0;
m) x a + 3*4— 3* — 1 = 0 ; n) * 3— 6*‘ + 57* — 196 = 0;
o) Xa + 3 * — 2¿ = 0; p) * 3— 6í* + 4 ( l — ¿ ) = 0 ;
q) * 3— 3a6* + o J + ¿>»=0;
r) * 3— 3abfgx + l 1g<v' + fg !ba = 0;
s) *’ — 4 * — 1 = 0 ; t) x a— 4 * + 2 = 0.
*76. A plicando la fórm ula de C ardano, dem o stra r que 
( * , - * a)s (* v- * , ) a ( * , - * , ) * = - 4 p ' - 2 7 q = . 
si * ,, *„, * a son las ra ices de la ecuación *3 + p * + <? = 0.
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(La expresión — 4ps— 27q! se llam a d isc rim inan te de la ecua­
ción - f p x 4 - q = 0).
*77. R eso lver la ecuación
(x*— Zqx + p a— 3pq)a— 4 (p x + q)s = 0.
*78. D educir ia fórm ula para la resolución de la ecuación 
x*— 5ax* 4 - 5a*x— 2b = 0.
79. R eso lver las ecuaciones:
a) x ' — 2x3 4 -2 x s 4 -4 x — 8 = 0 : b) x 44-2x* — 2x* 4 -6 x — 1 5 = 0 ;
c) x4— x°— x24 - 2x — 2 = 0; d) x4— 4xa 4 -3 x 24 -2 x — 1 = 0
e) x 4— 3xa 4 -x 24 -4 x — 6 = 0; f) x ‘ — 6x3-)-6xJ + 27x— 56 = 0;
g) x4— 2x3 + 4x2 — 2x + 3 = 0 
i) x4 4 - 2xs 4 - 8x2 -)- 2x + 7 = 0 
k) x4— 6x2 4- 10x'J— 2x— 3 = 0
h) x‘ — x*— 3x> + 5 x — 10 = 0; 
j) x4 + 6 x * + 6 x 3— 8 = 0;
I) x4— 2x9 H-4xi + 2 x — 5 = 0; 
m )x 4— Xa — 3x! + x - |- 1 = 0 ; n) x‘ — xa— 4xa + 4 x 4 - 1 = 0 ;
o) x4— 2xs 4 -x 24 -2 x — 1 = 0 : p) x4— 4xn— 20x!— 8x + 4 = 0;
q) x‘ — 2x*4-3x2 — 2 x - 2 = 0 ; r) x 4— x a - |-2 x — l = 0 :
s) 4x4— 4** + 3x*— 2x + 1 = 0 ; t) 4x4— 4x3— 6x2 4 -2 x 4 -1 = 0 .
80. E l m étodo de F e rra ri para la resolución de la ecuación de
c u arto g rado x* - f ax* 4 - &x2 + ex + d = 0 co n siste en que e l prim er
m iem bro se rep re sen ta en la forma
y después se e lig e ’k de ta l m odo que la expresión que figura 
e n tre co rch e tes sea el cu ad rad o de un binom io de p rim er grado. 
P a ra e s to e s necesario y suficiente que sea
es d ecir, que }. sea una ra íz de una ecuación cúb ica aux iliar. 
H allando descom ponem os el p rim er m iem bro en factores.
E xpresar las ra íces de la ecuación au x ilia r m ed ian te la s raíces 
de la ecuación dec u arto grado.
§ 4. R aíces de la unidad
81. E sc rib ir la s ra íces de la un idad de grado:
a) 2; b) 3 ; c) 4; d ) 6; e) 8 ; f) 12; g) 24.
82. E sc rib ir las ra lees p rim itiv a s de g rado :
a) 2; b) 3 ; c) 4; d) 6; e) 8 ; f) 12; g ) 24.
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83. ¿A qué exponente pertenece:
a) zt = c o s ? ~ i - í - i s e n y ^ si k = '¿ 7 , 99 , 137;
b) z„ = c o s ^ - f - i s e n ^ si f c = 1 0 , 35, 60?
84. E scrib ir todas la s ra ices de la un id ad de grado 28 que 
pertenecen al exponente 7.
85. P a ra cada ra íz de la un idad de g rado : a) 16; b) 20; c ) 24, 
indicar e l exponente al que pertenece.
86. E sc rib ir los "polinom ios c ircu lares" X „ (x ) p a ra n igual a
a) 1; b) 2; c) 3 ; d) 4; e) 5; f) 6 , g ) 7; h) 8; 1} 9;
j) 10; k) I I ; 1 )1 2 ; m) 15; n) 105.
*87. Sea e una ra iz p rim itiv a de la un idad de g rado 2n . C al­
cu la r la sum a 1 + 8 + 8* + . . . + e " _*.
*88. H a lla r la sum a d e todas las ra íces d e 1 de /i-ésim o grado.
*89. H a lla r la sum a de las fe-ésimas po tencias de to d as las 
ra íces de 1 de n-ésim o grado.
90. Poner sucesivam ente en la expresión (x-t-a)"1. en lugar 
de a, las m ra íces de 1 de m-ésimo grado, y su m ar los resu ltados 
obtenidos.
*91. C alcular 1 - f 2s + 3e5 + • -• + n e ,,_ ' . donde £ e s una ra íz 
n-ésim a de 1.
*92. C alcular I + 4 8 + 9** + . . . donde e e s una ra iz
n-ésim a de 1.
93. H allar la s sum as:
a) c o s ^ + 2 e o s ^ - { - . . . + ( n — l i c o s ^ — ^ ;
b) s e n - f 2 sen -■ + ■. ■ - f (n — l ) s e n .
*94. H a lla r la sum a de las ra ices p r im itiv a s de la u n idad de 
grado: a) 15; b) 24; c) 30.
95. H allar las raíces de 1 de q u in to g rado , reso lv iendo a lge­
braicam ente la ecuación x ‘— 1 = 0 .
96. A plicando el re su ltad o del problem a 95, e sc rib ir sen 18 
y eos 18°.
*97. Form ar la ecuación a lgebraica m ás sim ple que ten g a por 
raiz la lo n g itu d del lado de un polígono reg u la r de 14 lados ins­
c r ito en e l c írcu lo de ra d io I.
*98. Descom poner x " - 1 en facto res de p rim ero y segundo 
grados con coeficien tes reales.
*99. Aplicar e l re su ltad o de l p roblem a 98 para d em o stra r las 
fórmulas:
n __ 2.-i . . . (m— I)31 V m .
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*100. D em o strar que H (a + f»J[) = o ', + ( — \)" ~ l bn,
donde
*101. D em ostrar que
n - 1
(e j— e o s 8 + i) = 2 ( 1 — eo sn 0 ).
si
102. D em o strar que
= n V - ( e * - l ) 1 .
k = i
2 k n . 2 k n, , . AKJ ldonde eA = cos — - f i s e n — .
*103. H a lla r todos los jiú m e ro s com plejos que sa tisfacen a la 
condición x = x " ~ >, donde * es e l con jugado de x.
104. D em ostrar que las raíces de la ecuación X (z — a )" 4 - 
+ H ( z — 6 y = 0, donde X, u , a, b son com plejos, e s tán situados en 
una c ircunferencia , la cu a l, e n caso p a rticu la r, puede degenerarse 
en una re c ta (rt es un núm ero n a tu ra l).
*106. R eso lver la s ecuaciones:
a) ( * + 1 ) " — (.v— 1)“ = 0; b ) (* + ()"’— (* — i)" = 0;
c) x " — n a x " - '— C ^ tfx ”-* — . . . — a" = 0.
106. D em ostrar que si A e s un núm ero com plejo , cuyo m ódulo 
es igual a 1, en tonces la ecuación
tien e todas la s ra íces rea les y d is tin ta s .
*107. R eso lver la ecuación
eos <p + C eos (<p + a ) x -j- C j eos (q> - f 2a ) x* + • • •
. . . + C¡j eos (cp -f- n a ) x n = 0. 
D em ostrar los s ig u ien te s teorem as:
108. E l producto de una ra íz de I de g rado a por una ra íz de
1 de g rad o b e s una ra íz de 1 de g rado ab.
109. S i a y ó son prim os e n tre sí, en tonces 1 y x*— 1
tienen una ra íz com ún única.
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110. Si a y fe son prim os e n tre si, entonces todas las raíces 
de I de grado ab se ob tienen m ultip licando las raíces de 1 de 
grado u por las ra íces de I de grado b.
111. Si o y b son prim os e n tre si, en tonces el producto de una 
ra íz p r im itiv a 'd e 1 de grado a por una raiz p rim itiva de 1 de 
grado 6 es una raiz p rim itiva de I de grado ufe. y recíprocam ente.
112. D esignando con <p(n) e l núm ero de raíces p rim itiv a s n-ési- 
m as de 1 . dem ostrar que (p(ofe) = (¡>(o)(p(fe). si a y fe son primos 
e n tre sí.
*113. D em ostrar que si n = p?‘Pa’ - -pV:, donde p „ p , p*
son núm eros prim os d istin tos, entonces
114. D em ostrar que el núm ero de raíces p rim itiv as n-ésim as de 
la un idad , es par, si n > 2.
115. E scrib ir el polinom io X (x), donde p es un núm ero primo. 
*116. E scrib ir el polinomio X /n (.v ), donde p es un núm ero
primo.
*117. D em ostrar que p a ran im par, m ayor que I, = x).
118. D em ostrar que si d e s tá form ado por divisores prim os que 
figuran en n, entonces cada raíz p rim itiva de I de g rado tid es 
una ra iz de g rado d de la raíz p rim itiv a n-ésim a de 1, y recipro­
cam ente.
*119. D em ostrar que si n = p ? "p ? '. . -p*4 donde p„ p¡... . . . . p* 
son núm eros primos d istin tos, entonces X n { x )= X „ '{xn"), donde
*120. Designemos por p (/i) la sum a de las raíces prim itivas 
n-ésim as de l ; dem oslrar que p ( n ) = 0, si n es d iv is ib le por el 
cuadrado de al menos un núm ero primo; |i(n ) = 1, si n es el p ro ­
ducto de un núm ero par de núm eros prim os d is tin to s; j i(n ) = — 1, 
si n es el producto de un núm ero im par de núm eros prim os d is­
tintos.
121. D em cstrar que ¿ ] p (d ) = 0 , si d recorre todos los d iv iso res 
del núm ero n para n=f=T.
*122. D em ostrar q.ue X „(a) = II (x‘' — 1)“ ' donde d recorre
todos los div isores de n.
*123. H allar X „ (l) .
*124. H allar X „ ( - l ) .
*125. D eterm inar la sum a de los productos de las raíces p r i­
m itiv as n-ésim as de 1, tom adas dos a dos.
*126. S = 1 4 - E + e‘ + g9-!-. -r-e1''- . donde e es una ra iz
p rim itiva n-ésima de 1. H allar |S | .
n ' ~ P i P f -Ph' « ' = F -
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C A P I T U L O 2 
CALCULO DE DETERM IN A N TES
C alcular
127.
donde «
donde e 
1 2 8 .
§ 1. D eterm inantes de 2° y 35 órdenes
los d e te rm in a n te s :
■)
i)
;)
i)
i)
3) 
= <
a)
O
e)
2 3 
1 4 ; b)
2 
— 1
a c -í- di
c — d b ; c)
c o s a sen a
: h)
sen p eos fj
1 >& «|
k ) | ;lg a b 1 |
x — \ i
x3 x* + x + 1
2n. . . 2.aeos — + ;sen 3 ’
e 1 1
— 1 e ’
1
2
a + |5í V + 6i 
7 — ó t a — fii 
t g a — I 
1 tg a 
a -|- b b + d I 
a + c c + d \ ’ 
ot
— i
sen a eos a 
- c o s a s e n a
s e n a e o s a l 
sen fl eos ¡5
; i)
1 + 1 '2 2 - 1 -3
2 + 1 ' '3 I - 1 2
n)
■ co s-j + r s e n - j .
1 1 1 0 1 1
— 1 0 1 \ b) I 0 1
— 1 — 1 0 1 1 0
a a a 1 1 1
— a a X ’ 3) 1 2 3
— a — a X 1 3 6
1 i H - i
— i 1 0 ;
I — i 0 i
|i r+ í> a — b I 
o — ó a + b
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§ 2. Perm utaciones
129. E sc r ib ir la s Irasposiciones m ed ian te las cu a les se puede 
pasar de la p erm utac ión 1, 2 , 4 , 3 , 5 a la pe rm u tac ió n 2 , 5 , 3, 4, 1.
130. Suponiendo que 1, 2. 3 , 4 , 5 , 6, 7, 8. 9 es la disposición
in icial, d e te rm in a r e l n ú m ero de invers io n es en las perm utaciones:
a) 1, 3, 4 , 7, 8, 2, 6 . 9 , 5; b) 2, I, 7 , 9 , 8 , 6 , 3 , 5 , 4;
c) 9, 8 , 7, 6 , 5, 4 , 3 . 2, I.
131. Suponiendo que I, 2 , 3 , 4 , 5 , G, 7. 8 . 9 es la disposición
in ic ia), e leg ir i y k de ta l m anera que:
a) la perm utación 1, 2, 7 , 4 , i , 5, 6, k , 9 sea par;
b> la p erm utac ión 1, i , 2 , 5, k , 4, 8 , 9 , 7 sea im par.
*132. D e te rm in a r el núm ero d e inversiones e n la perm utación 
n , n — 1..............2 , 1, si la pe rm u tació n in ic ia! e s I , 2, . . . . n.
*133. E n la p erm utac ión a , , cc2 a„ h a y l inversiones.
¿C uántas inversiones hay en la p erm utac ión a,„ cc„_,, . . . , a a, a ,?
134. D e term in ar el núm ero de invers io n es en las perm utac iones:
a) I , 3 , 5, 7 .............. 2n — 1, 2, 4 , 6 , . . . . 2/i;
b ) 2 , 4 , 6 , 8 , . . . . 2n , I , 3 , 5 , . . . , '¿n— 1, 
si la pe rm u tac ió n in ic ia l e s 1, 2 ........... 2n .
135. D e term in a r e l núm ero de inv ers io n es e n la s perm utac iones:
a) 3 , 6 , 9 , . . . . 3n , I , 4 , 7 3 / i— 2. 2, 5 ..............3/1— 1;
b) 1, 4, 7..............3 n - 2 , 2. 5 .............. 3/i — 1, 3 , 6 , . . . , 3n,
si la perm utación in ic ia l es 1, 2, 3 .............. 3/1.
136. D em ostrar que si a „ a 2, . . . . au e s una p e rm u tac ió n con 
un núm ero de inversiones / , e n to n c es , después de red u cirla a la 
disposición in ic ia l, los índ ices 1 ,2 , . . . , / i form an una p e rm utac ión 
con el m ism o núm ero de inversiones / .
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137. D e term in ar la paridad de la perm utación de las letras 
I, r , ni, i , a, g , o, l , s i se tom a por inicia] su disposición en las 
palabras:
a) logaritm o; b ) a lg o ritm o (en estas pa lab ras la ú ltim a letra 
o no se cu en ta . N ota del T .)
C om parar y ex p licar los resu ltad o s.
§ 3 . D efinición de un determ inante
138. ¿Con qué s ig n o fig u ran e n e l d e te rm in an te de 6° orden 
los p roductos: a) « „ a .,1Q4!o ,so 1,a 06; b ) a Ma „ f l l4a , 1a„ ,n „?
139. ¿ F ig u ra n en el d e te rm in a n te de 5 ' o rden los productos:
a ) b) a !ií*i3a úta u a jj?
140. E leg ir í y k de ta l m odo que e l p roducto a ua.Ka ¡ka2ia ^ 
figure e n e l d e te rm in a n te de 5o orden con e l signo m ás.
141. E sc rib ir todos los sum andos que fig u ran en el d e te rm in an te 
de 45 orden con el signo m enos y que co n tien en el fac to r a M.
142. E sc rib ir todos los sum andos que form an p a r te del d e te r­
m in a n te de 5o orden y que tien en la form a ¿Qué 
o c u rrirá si de Su sum a se saca fuera de parén tes is a |4a.*3?
143. ¿Con qué signo figura en el d e te rm in an te d e /¡-ésim o orden 
el p roducto de los e lem entos de la d iagonal p rincipal?
144. ¿Con qué s ig n o fig u ra e n el de term inante , de /¡-ésimo orden 
el p roducto de los e lem entos de la segunda d iagonal?
*145. B asándose e n la de fin ic ió n de d e te rm in an te , dem ostrar 
que el d e te rm in an te
« l «* «3 «4 « i
I», P* P . P . ñ .
a, a , 0 O 0
b, b, 0 0 0
. r , c„ 0 0 0
es ig u al a 0.
146. B asándose sólo en la defin ición de d e te rm in an te , calcu lar 
los coeficien tes líe x ‘ y .y1 en la expresión
2 x x I 2
/ ( * ) =
l x l — l
3 2 x 1 
1 1 1 x 
147. C a lcu lar ios d e te rm in an te s:
1 0 0 . . 0 0 0 0 . . 0 1 1 0 a . . a
0 2 0 . . 0 0 0 0 . . 1 0 i) 2 a . . a
a) 0 0 3 . . 0 ; b) :c) 0 0 3 . . a
1 0 0 . . 0 0
0 0 0 . . n 0 0 0 . . n
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O b s e r v a c i ó n . E n todos aquellos p rob lem as e n que de las 
c o n d ic io n es del m ism o 110 queda c la ro cu á l es el o rd en del d e te r ­
m in a n te , si no se lia hecho a lg u n a re s tr ic c ió n especia! se su p o n d rá 
que é s te es igual a n.
148. F (x ) = x { x — l ) ( x — 2 ) . . . ( x — n + 1).
C a lcu lar los d e te rm in a n te s :
F ( Oj / '( O F (2) . . F (n )
«)
F ( l ) F (2) F (3) ■ ■ F ( n + 1)
F (n ) F ( f i + l ) F (n + 2) . • F (2n)
F (a ) r ( a ) F -(a ) . .
b)
F '(a ) F" (a) F " '( a ) . . F '"+" (a )
F"“ (a) pn+ IJ (a ) f " +5>(fl). . F '- '" (« )
§ 4 . P ropiedades fundam entales de los determ inantes
*149. D em ostrar que un d e te rm in a n te de n -ésim o o rd en , en el 
cual c ad a e lem en to a¡k es el co n ju g ad o com ple jo del e lem en to a„¡. 
es ig u al a u n núm ero rea!.
*150. D em o strar que u n d e te rm in a n te d e o rd e n im p a re s igual 
a 0, si todos su s e lem entos sa tis facen a la condición
« « + « * / — o
(d e te rm in a n te an tis im é trico o h em isim étrico ).
a „ a , t . • am
151. E l d e te rm in a n te Cl 2 1 • «2*1 es ig u al a A
am « « ■ • “ nn
¿A qué es igual el d e te rm in a n te
a a , «22 ■ • «2»
«32 • - «.,„
a,,.. . • 0 n„
« i i «12 • •
152. ¿Cómo v a ria rá u n d e te rm in a n te si se esc rib en to d as sus 
co lum nas’ en o rd en inverso?
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*153. ¿A qué es ig u al la sum a
■ « . . .
£ í!o, « » , •
“m , ■ • V .
si la sum ación se e x tie n d e a todas las p erm utac iones a ,, a , a„?
*154. R eso lver la s ecuaciones:
1 X x ‘ . . A'1-1
I «i a'i • . u f *
a) 1 o . a? . . « r i
1 a í - , . .
donde a ,, o . son todos d istin to s ;
1 1 1 1
1 1 — x 1 1
b) 1 1 2 — jc . 1 = 0;
1 1 1 ( r t - l ) - X
a. a , . . a„
a , + 1 * a„
c) “ i <h 0 , + a , — x . ••• “n
«*
*155. Los núm eros 204, 527 y 255 so n d iv is ib les por 17. De­
m o stra r que
2 0 4 
5 2 7 
2 5 5
es d iv is ib le por 17.
*156. C a lcu lar el d e te rm in an te
<x= ( a + l ) = ( c c + 2 y ( a + 3 ) J
P* (P + >)* (P + 2)* (p + 3)*
Y: ( y + D 1 (V -l-2r- (Y — 3 Y ' 
ó* ( f i + l R ( 6 + 2 )= (6 + 3)=
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157. D em ostrar que
b 4- c c + a a + b a b e
V K i <-', + 0 , a , + b, = 2 a , b , c,
b-i + c , c. + a , a, + b2 ai >>, c.
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y calcu la r el d e te rm in an te
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162. D esarro lla r por los e lem en to s de la p rim era colum na 
y calcu lar el de te rm in an te
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§ 5. C álculo de determ inantes
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C alcu lar los de te rm in an tes:
* 2 7 1 .
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*272.
*273.
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41
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42
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*285.
*286.
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2n~ 'x 3n ' ' x ' . . . 1 n —
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2.v ’i x ' . . . n x " - '
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*287. 1 X .Va . A*"” 1
0 1 C'.v . • C i-.A— ’
0 í . ■ Ca- ,A " - :1
0 0 0 . . c S z \ x f - "
1 y I/1 . ■ y " ~ ‘
0 i C -y . ■ c ;,
0 0 0 . . c - í - v
288.
a) E sc rib ir e l d e sa rro llo de un
por los m enores de las p rim eras do
b) C a lcu lar e l d e te rm in a n te
1 2 2 1
0 1 0 2 
2 0 1 1 
0 2 0 1
em p lean d o el d e sa rro llo por los m en o res de seg u n d o orden,
c) C alcu lar e l d e te rm in a n te
2 1 0 0
1 2 1 0 
0 1 2 1
0 0 1 2
em p lean d o el d e sa rro llo por lo s m en o res de segundo o rden .
43
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d) C alcu lar el d e te rm in a n te del p rob lem a 145.
C alcu lar los d e te rm in an te s :
e)
g>
1 1 1 0
2 3 4 0
3 6 10 0
4 9 14 1
5 15 2 4 1
0
u
0
I
5
9 24 38 1 2 5 81
f) 0 0
0 ", 0 d,
; K 0 ü.. 0
0 d, 0
1 I 0 0 0 1 10 A 0 0 . . 0 a
X., 0 0 0 X, a P ■ • P ! / ,
", b , 1 1 1 "i P a . • P Vi
a, b» x, •V. x t c,
>>, x l x l x„ P P •• . a Vn
-v? x l 0 Ó 0 *3 a 0 0 . . 0 A
i) A p licando el teo rem a de L ap lace , c a lcu la r e l d e te rm in a n te 
del p ro b le m a 2 3 0 .
j) A p licando e l teo rem a de L ap lace , c a lcu la r el d e te rm in a n te 
del p roblem a 171.
k) C alcu lar e l d e te rm in a n te
1 1 1 0 0
1 2 3 0 (1
0 1 1 1 1
0 X, x , x .
0 x¡ xl X% x l
1) S ean A , l i , C, D los d e te rm in a n te s de te rc e r o rd en que se 
form an de la tab la
M c, d , \
! "e bt C* d. j 
Ka , a3 c, d j
a l su p rim ir la p rim era , seg u n d a , te rc e ra y c u a r ta co lu m n a , re sp ec­
tiv a m en te . D em o stra r que
a, b, d , 0 0
a , b , c., ti., 0 0
0 O a , b , d,
0 0 a., b . c . d ,
0 0 an b, c , d ,
*m) C a lcu lar e l d e te rm in a n te de o rd en quince
- A D - B C .
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A , A,
A, A A, ,
A, A, A
form ado de! m odo ind icado por las m allas
a X X — X — je' fl 0 0 0 0
X 2a a 0 0 0 0 1 0 0
X a 2 a 0 0 , A, =•• 0 1 2 i) 0
— X 0 0 2a u 0 0 0 2 1
. — X 0 0 a 2a, 0 0 0 1 2
§ 6 . M u l t i p l i c a c i ó n d e d e t e r m i n a n t e s
289. A plicando la re g la de m ultip licac ión de las m atrice s, e x ­
presar en form a de un d e te rm in an te los p roductos de de te rm in an tes:
a ) 1 4 3 1 - 21 > 3 — 3 2
b ) 3 2 5 2 3 4
— 1 3 6 — 1 — 3 5
1 — 1 2 2 1 1
2 1 1 I
— 1 2 1 3 1 —
c )
— 1 — ! 1 1 3 —
— 1 — 1 — 2
290. C alcu lar e l d e te rm in a n te A m ultip licándo lo por el d e te r­
m in an te Ó:
1 2 3 4 1 _2
— 1 0 3 — 8 0 I 0
a) A = 1 0 — 13 , 6 = 0 0 1
2 3 5 15 0 0 0
— 1 9 2 3 1 0 0 0
— 5 5 3 — 2 - 2 1 0 0
b) A — — 12 0 1 1
, 6 =
3 2 1 0 *
9 0 2 1 - 3 4 2 1
a b c d I 1 1 1
b a d c 1 1 — 1 1
c) A = c d a b » 5 = 1 1 1 — 1
d c b a 1 1 — 1 1
45
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291. C alcular el cuadrado del d e te rm in a n te :
a)
1 1 1 1 1 - 1 1 — I
1 1 - 1 1 2 2 1
1 --1 1 — 1 b) 2 0 i - i
1 --1 - 1 1 3 — 7 ~ 9
11 b c
— h a — tic
— c ti 0 —a
- e l — r b
El d e te rm in an te
“mi «o, o„, «o. n—l
0,o «11 0» «i. ,,-i =■£>.
_ i, o fl . i 0,7-1. -1
¿A qué es igual el d e te rm in an te
'I1» T n (* -,) . . .
T . W (* ,) . . . <|', (x„)
*r„_ i (v ,) <i„_, (.v.) . . . <p„_, (x„)
donde <p,•(*)=- f l„ ; - r o ux . . . + a „ . ,„ x " ~ •?
A plicar el re su ltad o o b ten id o a la re so lución de los problem as 
26 5 , 26 7 . 268.
C alcular los de term inan tes:
*293.
0 n + u„)" . . . n„)’‘
(ft. + a .í* (*, -I a ,) '1 . . . (6 , + a .Va)
b)
(/>,-!-a „ r . . . (b„
- O Í W I ~ « Í P " i - q ? p g 
■ — “ iñ« 
i
- o,,)"
— <X|P, l — a , p 2 
1 - a J p S
- « i P l I — « a P j
- « s p r i - a s p s i-«*SPS
— a„p , 1— «i„p„ • • • I — a„p„
*294. sen 2 a , sen fot, -|- a 4) 
sen l a . + « , ) sen 2 a ,
sen ( a , -j- a„) 
sen ( a , - ¡ - a n)
sen sen (a ,, a -a» ) . . . s e n 2 a „
4C
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*295.
*296.
Sn s, s t • • • 1
s , s s ■S • • • * „ V
s „ _ -s /( 1.1 ■ • • S a n - Í - V " - 1 '
s „ '**«+1 S,m : • - • ^2H - 1 .V"
= * Í + * Í H • x * t * n-
a b C d l III n P
b — ii — d — C III - l n — a
c d — « — b n — p — l til
d — c b — a p — ni — l
l — m — n — p — a i d
m l P — ,i — b — a d — í
ii — P l III — c — d — a b
P n — n i l — d c — b — a
*297. cos<p senip cosrp son ip
eo s 2<p sen2<p 2 co s2 ip 2 sen 2<p-
eo s 3q> sen 3ip 3cos3<p 3 sen 3tp
cos4<p se n 4<p 4 eos -l<p 4sen4<p
*298.
eos mp n eo s /i(| sen wp n sen « p
c o s ( ji + 1 )q> ( r e + l ) c o s ( / t + 1 )«p s e n (n - |- 1 )«p 1 >s o n </*- | - 1 )<p 
eos (n + 2) <p (n + 2) eo s (n - r 2) <p sen (n -i- 2) <p (« I- 2 ) sen (/i -f- 2 ) (p 
eo s (n 3 ) «p + 3) eo s (n -)■ 3) tp sen {n -r 3) <p (n -| 3) sen (n -|- 3) <p
*299. 1 1 1 1
1 e t - . . . e’ -1
1 v- e* P ¿11-2
1 yll ~ 1 p301~ll ew»— l>*
donde b ~ eos
2ir
n '
‘i.ts e n ­
*300. "o «i tí. . . (ltl - l
a j .. &n- 2
ÍI. a , c/„ . . «0
(d e te rm in a n te ei el ico)
301. A p liear el re su ltad o del p roblem a 300 al d e te rm in an te
x u z y
y x u z
z y x ti
u z y x
47
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302. A plicar e l re su ltad o del p rob lem a 300 a los p ro b lem as 192, 
205, 255.
C alcu lar ios d c lc rn im an le s:
303. 1 C i_ , C J_, . . . c s z t 1
1 1 C¿_. . . . C i':? C " ,
C'k'A 1 1 . . . c ; ; ; í C" V-1
¿ i - , C s- C;¡-a . . . l 1
304. i lto 3 a 3 . . . / la "* '
na" ' 1 1 2c¿ . . ( « — l ) a II ~~ i
2a 3«3 4a '1 . . 1
305. s — a, 5 —- a t . . . s — a„
i — n„ -a , . . . * — ««-■
s — « . 6 — ‘h ■■■ s — a ,
d onde s ^ a , \ a., ¡ - . . . -J-a„. 
306.
307.
CJ,/""* C ll" " 3 . . . C"II c r ‘
c r 1 CJ/*-* . . . c;¡ C'k-H
c r 1/ f'n—t í " - ' r«- C’t H 1
CJ¿"- * cj/»-» CU"-* . . . r n-e. r, 1 ("-■
p n — p
— i — i .. - 1 —1 1 1 . . . 1
i — i — 1 —1 — 1 1 . . . 1
i i .. — 1 —1 — 1 1 . . . 1
— i - 1 . - 1 1 1 1 . . . — I
‘ 308. e o s | 2 a eos —
II
eos
tn - I) .1 
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( « — 2 1 . 1
e o s H ín eo s — C0 S 5T
309. eos 0 eos 20 . . . eos n 0 
eos: /i0 eos 0 . . . eo s (n — 1) 0
eo s 20 e o s 30 . . . eo s 0
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310. sen a s e n ( a + /0 se n (n - |-2 ft) . . . sen [ t í — l)/i]
sen[a-¡-(/t — 1 )ftj s e n o scn(«-|-/i) . . . s e n («-(-('!—2)/i]
sen (a-{-h) sen(u-!'2/í) sen(a ,-3/jJ . . . sen a
*311. I a os 3a . n-
n 3 1= 2 a . ■ ( n - l f
2= 3'- 4 a . I a
312. D em o stra r que
«0 " , “ l r t. " , 0 , ir.
«0 " , «i " , "s
"s a , " , " , "s " ,
" , "s "s "o " , «1 (.V.
" , 0 . «0 " , " ,
" l a 2 « i "s «3 "o " ,
a, " , <7S " , "•3 «3
= (¡¡„ H -3 a ,- - 3as) ( o j— o„a, — o„os 2o? -I 2o= — 3a ,n2) \ 
313. C alcu lar el d e te rm in an te
" , « 2 " a . •
— ", n s .
" , • ■ "« -*
— a . . — "s — " , • • " ,
(d e te rm in a n te hem icíc lico).
*314. D em ostrar que un d e te rm in an te c íc lico de o rd en 2/¡ puede 
re p re sen ta rse com o el p roducto de un d e te rm in a n te c íc lico de orden 
;i por un d e te rm in a n te hem ic íc lico de o rden n.
315. C a lcu la r e l d e te rm in an te
" , " s " l •
" , " i •
M"„ a , . " , , - S
M"s h"s .. « ,
§ 7 . P rob lem as diversos 
316. D em ostrar que si
o , , (a.) . ■ » „ W
A (A) - " s , (*) o « W ■
. 0 .„ U )
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a„<x) a n (x) . ■ o , „ ( x )
aSÍ(x) a „ ( x ) .
“ n , (-V) a'n t(x) . • «¡m í*)
317. D em ostrar que
a „ - x • « i . + x « n a , , .
“ t t - f X a „ ¡- x . — X « i .
« « » + * . - ; - . r “ ,n ü n t ■
- M X 2 - 4 /* .
* = i/ —i
donde A a. e s el com plem en to a lg eb ra ico del e lem en to a i k .
318. A plicando el re su ltad o del problem a 317, c a lcu la r los 
d e te rm in an te s de los p rob lem as 200, 223 , 224 , 225 , 226 227, 228, 
232, 233, 248 , 249, 250.
319. D em ostrar que la sum a de los co m p lem en to s a lgeb ra ico s 
de todos ios e lem en to s del d e te rm in an te
es igual a
<r ,i « „ . . « i »
« a l « 32 . .
a „ i o, ,. , . .
1 I i
« i . — « I I a „ — a i t a 1
« b u — » » - , . i e * . i , 4 a il,l * * « - ! , «
D em ostrar los teorem as:
320. La sum a de los com plem en tos a lg eb ra ico s de lodos los 
elem entos de un d e te rm in an te no varía si a todos los e lem entos 
del de te rm in an te se les ag reg a un m isino núm ero.
321. Si todos los e lem en to s de una fila (colum na) de un d e te r ­
m in a n te son iguales a la un idad , en to n ces la sum a de los com ple­
m en tos algebraicos de lodos los e lem en to s del d e te rm in a n te es 
igual a l d e te rm in an te m ism o.
322. C alcu lar la sum a de los com plem en tos a lgebraicos de todos 
los e lem en to s del d e te rm in a n te del p roblem a 250.
50
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*323. C alcular e l d e te rm in an te
(a t + b . ) - ' . . (a, ^
(a a - l-ú ,) " ’ (a„ . . <o,
Í « . + W
324. Ind icando con P„ y Q„ los d e term inan tes
a" 1 0 .. 0 (I
— 1 " i 1 .. . 0 0
0 ü 0 .. 1
0 (1 0 .. . — 1 a „ - i
1 0 . . 0 0
— 1 a . 1 . . 0 0
0 0 0 . . 1
0 0 ü . . . — i a » . ,
dem o stra r que
Calcular los de term inan tes:
c a 0 . . 0 0 32G. /> <7 0 . . 0 0
h c n . . 0 0 2 /' ■7 - . 0 0
0 b c . . 0 0 0 1 P ■ . 0 0
(1 0 0 . . o a 0 (1 0 . /> Q
0 0 0 . . b c 0 0 0 . . 1 P
*327. R ep resen tar e l de te rm in an te
a n + - a ,j • - <*ln
a t . al t + x . G*„
Q„t
en form a de un polinom io, d ispuesto según las potencias de
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*328. C alcu lar e l d e te rm in a n te de (2n — l)-és¡m o o rd en , cuyos 
prim eros ir — I e lem en to s rie la diagonal p rin c ip a l so n iguales a la 
u n id ad , los dem ás e lem en to s de la diagonal p rincipal son ¡guales 
a n . E n cad a una de las p rim eras n — I filas, n e lem en to s s itu a ­
dos a la derecha de la d iagonal p rincipal son iguales a la u n id ad , 
en cada una do las ú ltim as n filas, los e lem en to s s itu ad o s a la 
izquierda de la diagonal p rincipal son n — i, n — 2, . . . , 1. Los de­
más e lem en to s del d e te rm in a n te so n iguales a cero.
P o r e jem p lo ,
1 1 1 I 0 1 1 1 1 1 0 0 
0 I I 1 1 I 0
o 0 I I 1 1 1
I 2 3 4 0 0 0 
0 1 2 3 4 0 0 
0 0 1 2 3 4 0
0 0 0 1 2 3 4
0 1 i I I
I 2 3 0 0 
0 1 2 3 0 
0 0 1 2 3
C alcular los d e te rm in an tes:
*329. .v- 1
— n x — 2
0 — ( r — 1 )
0 0
2 0
x — 4 3
0 0 
0 o 
o o
y ’' y 0 ü . . . — 1 x — 2 n
330. a- 1 0 0 . . . 0 0
n — 1 a 2 0 . . . 0 0
0 n — 2 x 3 . . . 0 O0 0 O 0 . . . 1 a
331. x a 0 0 . . . 0 0
i H u — I ) a — 1 2<; 0 . . . 0 0
0 (n — l i t a — 1) x — 2 3n . . . 0 0
0 o 0 0 . . . u - 1 x — n
332. I"~ ' 2 " - '
2 n ~ i i
- 1 ( a 1 ) - ~ ‘ . . . ( 2 / 1 — 1 / * -
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333. 1 i
1 1 1 I
2 3 4 • ■■/ , + !
r v ~ r ' _ _ i _
n n-(-1 n-j-2 ’ ' ' 2« — 1
334. H a lla r e l coeficiente ile 
de term inan te
la potencia inferior de
(1 - - *-)«** vl+x)"*»* 
(1 - f x)"’b'
( i + x r * *
( i : x Y 1^ »
x en el
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C A P I T U L O 3
SISTEM A S DE ECUACIONES L IN E A LE S
§ I . Teorem a de C rarner
R eso lver los s is te m a s de ecuaciones:
3 3 5 . 2 a-,— a , — X , - , 4 , 3 3 6 . .v ,-¡- x . 2 x , = — 1,
3a-, -I- 4 x . — 2 x , = 11, 2 x , — .v, + 2x ;, — 4 ,
3a-, — 2.v, -I- 4x., = -1 1 . 4.r, i- a , -r 4.v, — — '2.
3 3 7 . 3 x , - 2a , | a-,,--. 5 . 3 3 8 . x , - |- 2 .v . |-4 .v , = 3 1 ,
2 a-, l 3 a-, , a- , — 1, 5 a- , - t- a- , - 1- 2 a: , — 2 9 ,
2 a , i- a- , | 3 x , — 11. 3a-,— x a + .V, = 10.
3 3 9 . a", -|- a , - |-2 x „ 3 x , — 1,
3 a' i — a , — a , — 2a‘, = — 4 ,
2 a-, H 3 a . — v , — a , - — 6 ,
A",-| 2 x . + 3 x , — a , i » — 4 .
3 4 0 . a , -|- 2a5 -|- 3a ;i — 2a , — G.
2a , — x . — 2 a, — 3 a, = 8 ,
3a , - '- 2 a , — a , - . -2 a, = 4 .
2.\-, — 3a, -f- 2 a, H- a , = — 8 .
3 4 1. a , 2a , 3a , -I- 4 a , = 5,
2 a , -i- x , -|- 2 a ., - i- 3 a , — I ,
3a , | - 2 a , -|- a-., , 2a , — 1,
4 a , -i- 3a- , 4 - 2a , I- a , = — 5.
3 4 2 . a , — 3 a , + 4.a, = — 5,
a , — 2 a , | 3a , = — 4 ,
3 a , — 2a , — 5 a , = 12,
4 a , - i -3 x s — 5.V, = 5 .
3 4 3 . 2 a , — a., 4 3 a, + 2 a , = 4 .
3 a , -h 3 a . - - 3.V, f 2.v, = G.
3 a , — a, — a , H- 2 a, — 6 .
3 .v ,— a- , - | 3 .a ,— a , = 6 .
54
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3 4 4 . a , 4 - x , - | - xs -!- v, = 0 , 
a , — 2x., -!- 3 a , 4.v, 0 . 
x , — 3 a , 4 6a , 4 - 10 a , = 0 , 
a , 4 4 a , |- 10a, 4 - 2 0 a , - 0 .
345. x , - 3a , -i- 5 a, + 7 a, 12,
3 a , -f ^ a H ^X:¡ _|“ a , — O,
5 a , + 7 x ¡ + x , ¡ 3 a , r_ 4,
7a , - f a , |- 3 a-., 4 - 5.v, - 16.
346. A, 4 - x ¿ -|- a-, I A , = 0,
x , — x 2 ■ |■ 2 a , — 2a-, i 3 a , O,
A-, -1-A-j-l- 4 a, 4 - 4a, 4 - 9a„ - - O,
A-,— 8 a, — 8 a, I 27 a5— tí, 
a , — a , ~ 16a, H- 16a , - '- 8 1 a5 = 0 .
3 4 7 . a , 2 a - I- 3a., -á- 4 a , - O, 
a , + a , + 2.Aj | 3 a , = 0. 
a , 5 a , -I- a , -I- 2a , •-= O, 
a , + 5 a , + 5 a , -h 2 a , ^ 0.
34 8 . a , -f- A, 4 - a, 4~ A, — O,
a , 4 - a, 4- a, 4 - a, — O,
a , 4 - 2 a, - |- 3a, 4 - — 2,
A, 4- 2a'3 4 - 8a , — 2,
a, i- 2a, i - 3a, — 2.
349. a , + 4 a . + 6a , 4- 4 a , 1 a , = 0 , 
a , 4- a , 4 - 4 a , r 6a , 4Aj = 0 ,
4 a , 4 - a , 4 - a , 4- 4 a , 6 a , - 0 , 
6a , 4 - 4 a , 4 - a , 4 - a , 4 - 4 a , - » O, 
4 a , 4- 6a , -f- 4 a , -i- x , 4 - a , — 0.
350. 2a, 4" A, 4“ A , A , 4“ A , — ¿f
a , 4- 2a, — a , 4- A, 4 - a, = 0 ,
A, 4- A , 4 - 8a , 4 - A, 4- A , = 3,
A, 4- A., |- A, 4 - 4a, - f A, = 2 ,
A, -|- A, • A, -j- A, — 5 a , — O.
351. A, 4 - 2 a, 4- 3Ag4- 4 a, 4 - 5 a, = 13. 
2 a , 4 - a, 4 - 2 a:, + 3 a, 4 - 4 a , — lü , 
2 a , -1-2as -(- a34 - 2 a, 4 - 3 a, = 11, 
2a , 4 - 2a, 4 - 2a, 4 - a, |- 2a, = 6, 
2a , 4 - 2 a, 4 - 2a, 4 - 2a, 4 - a, = 3 .
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352. a-, + 2a, - 3 a, -|- 4a-, - ^ M - ! , 
2a-, — A-, -i- 3a, — 4a, -i- 2a5 = 8,
3*i t -Vj— xa-f-2xt — *» = 3,
4 a , - | 3,Vj -I- 4 a 3 2 a , - f 2 a s = — 2 , 
a , — a , — jr , \ 2 a , — 3 a , = — 3 .
353 . 2a , — 3.r„-¡- 4 v, — 4 a , — O,
3 a , — a . l 1 l.v,— 1 3 a , -= O,
4a , ¡ 5 a . — 7a':í— 2 a , = 0 .
1 3 a , — 2 5 a , I- x , + 11 a , = 0 .
Com probar ijue e l s is tem a tie n e la solución * , = * „ = ,vs = x , = 1, y 
calcu lar el d e le rm in a n tc d e l s is tem a .
354. D em ostrar que el sistem a
tiene so lución única, si a , b, c, d son reales y n o son todos ig u a­
les a cero.
R esolver los s istem as de ecuaciones:
355. « a , |- cía. • I cu -* ., 4 - flA„ =
CíA, -I- CíA, + . . . p .V „ . , 4 - « A „ = ü „ _ „
|ÍA, I CÍA, -I- . . . 4-CíA„_] + ÍÍ.V ,,—
d onde c c ^ f l .
*■ -»J . X„ _ _ .
í’i - l 'c ■ *A -I'! ' r ■ ' ' + b. -p " - ‘ *’
*1 , | A„___
K - I»."1" * ,— fe"1" • ' f n- P „ 
donde b,, ¿>„ . . . . /•„, [>,, (i.,. . . . . son todos d is tin io s .
(ix 4 - b y + c z + d t = 0, 
b x - a y - \ - d z — el — 0, 
c x — dij— a z + b l — 0 , 
d x | c y — bz— a l — 0
357. a , r • ■ • 4" A„ 
+x„a„.A,CS, | A,C¡,
AjCtj,” 1 , ¡- . . . 4 -A„CÍ^-J =
donde a,, a,.., . . . , a „ son lodos d is tin io s . 
5<;
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358. x , + x ta , + . . . + x„cí'¡-' = u , , 
x , + .*,0 , H- . . . + x,/-4 ‘- - «...
x , + x , , a „ -i- . . . + ■*
donde a l> « s . . . . , a„ SOI) todos d istin to s.
3 5 9 . X, + X, I- ■ • - - 1" x „
x , a , + x „a2 + • ■ • - | - x „ c t „ = » s .
x .a ? - 1 + x ta “~ ■ • • - r x na r
donde cc o :., . . . . a „ son todos d is tin to s .
3 6 0 . 1 + X i "I* x . - 1- ■ • x„ — 0,
1 -I- 2x . 2".v„ - - 0,
1 n x , \- n-xt - ¡- . . . - |- n nx „ -= 0 .
§ 2. Rango de una m atriz
361. ¿C uán tos d e te rm in a n te s de A-ésimo orden se p ueden fo r­
m ar d e u n a m a tr iz d e ni f ila s y n co lum nas?
362. F o rm ar una m a tr iz de rango: a) 2 ; b) 3.
363. D em o stra r que e l ran g o de una m a tr iz no varía :
a ) a l s u s ti tu ir las fila s por la s co lum nas;
b ) a l m u ltip lic a r los e le m en to s de una fila o una co lum na por 
u n núm ero d is t in to de 0;
c) al p e rm u ta r dos f i la s o d o s co lum nas;
d ) al a g reg a r a los e lem en to s de una fila (colum na) los e lem en­
to s de o tr a fila (co lu m n a), m u ltip lic ad o s por a lg ú n núm ero.
364. Se llam a sum a de dos m a tr ic e s de igual c an tid ad de filas 
y co lum nas, a la m a tr iz cu y o s e lem en to s son las su m as de los 
e le m en to s c o rre sp o n d ien te s d e las m a trice s que se su m an . Dem os­
t r a r que e l ran g o de la sum a de d os m a trice s no es superio r a la 
sum a de los ran g o s de las m a tr ic e s que se sum an.
365. ¿Cómo puede a lte ra rs e el rango de una m a tr iz si se le 
ag reg an : a) 1 co lu m n a; b ) 2 co lum nas?
C a lcu la r los ran g o s de la s m atrices:
366.
/ 0 4 10 i \ k
367. / 75 0 116 39 0 '
j' 4 8 18 7 ( 171 - - Ü9 402 123 45
i 10 18 40 17 • l 301 0 87 — 417 — 169
\ 1 7 17 3 / f \ 114 - -46 268 82 30
368.
/ 2 1 11 2 \ 369. / 1 4 12 6 8 2 \
I 1 0 4 — 1 t / 6 104 21 í) 17 i1l 11 4 5G 5 i! • ( 7 6 3 4 1 r
\ 2 — 1 5 - - e / \ 3 5 30 15 20 •r» /
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] 0 0 1 4 371. ( 1 - 2 3 — 1 — 1 - 2
0 1 0 2 5 2 — 1 1 n — 2 - 2
0 0 1 3 G - 2 - 5 8 — 4 3 — 1
1 2 a 14 32 G 0 - 1 2 _“ — 5
4 ') r> 32 77 - 1 — 1 i — 1 2 1
2 i i 1 373. ( 1 — 1 2 3 4 |
1 ■i i 1 2 1 — 1 2 0
1 1 4 1 -1 2 1 1 3
1 1 1 S 1 5 - 8 — 5 — 12
1
1
2 3 
I 1
4
1
3 — 7 8 9 13
/ 2 1 3 - 1
> 375. 3 2 — 1 2 0 1
i "
— i 2 0 4 1 0 — 3 0 2
i ' 3 4 _2 1 2 - 1 — 2 1 1 - 3
\ 4 — 3 I 1 / .3 1 3 — 9 — 1 G
3 - 1 ~ 5 7 2 - 7 ;
0 (1 I 0 G t 377. 1 - 1 2 0 0 1
o 1 1) 0 0 0 1 — 1 2 0 1
<1 0 0 1 (1 1 0 — 1 0 2 1
1 1 1 1 1 1 - 1 0 0 1 2
1 3 4 r> 1 2 (1 1) 1 - 1 1
1 9 3 4 5 , - 1 1 Ü 1 1 2,
2 :¡ 4 5 Gj
i \ n I 0 0 379. / 2 0 2 0 2 \
1 1 0 (1 0
í 0 1 0 1 o \0 1 1 0 0
2 1 (l 2 10 0 1 1 Ü \ 0 1 0 1 ü /
ü 1 0 1 1
2 — 1 1 3 4
2 — 1 2 1 - 2
2 - - 3 1 — 2
1 0 1 «» — G
1 2 1 1 0
4 — 1 J 1 - 8 ;
58
www.FreeLibros.me§ 3 . S i s t e m a s d e f o r m a s l i n e a l e s
3 8 1 . a) E scrib ir (los form as linea les independien tes,
b) E scrib ir t r e s form as linea les independien tes.
3 8 2 . F o rm ar un sistem a de c u a tro form as linea les de cinco 
v a riab les , de m odo que dos de e lla s sean independ íen les y las 
dem ás sus com binaciones lineales.
H a lla r las dependencias fundam entales e n tre la s fo rm as del 
sistem a:
3 8 3 . y , = 2 a , 4- 2x¡ +• 7 a , — a , ,
;/3 = '¿x,— x,-\--2xH-T 4a„ 
i j . , = x , + a , + 3a-., - x , .
3 8 4 . / / , = 3 .v , - |- 2 a -, — 5 a , , 4 a „
( / , = & « ,— x t ~ 3 a , — 3 a , , 
y., = 3 a , - f 5 x 2 — 1 óx.j + 1 I a , .
3 8 5 . y , = 2 a , -i- — 4 * ,— .v„
J t ~ a , — 2 x , + JCa - | 3 . r „
/ / . , - = 5 a , — 3 a . — .v , - | - 8 a „ 
y , — 3 a , + 8 a 3 — 9 a , — 5 a 4 .
3 8 6 . y , — 2 a ! + a „ — a , ¡ - a „
U i = A-, F 2 a 3 + A , — A j,
¡Ai — A , -F A , i 2 A , ‘- A . .
387. y, — A| -- 2 a . -j- 3 a ;i -F a , , 388. y , —2A,-F x 2,
y.¡ = 2 a , F 3 a .. .v , 2 a , , ti, - 3 a , - f 2 a . ,
y ., = 3 a , - F a , ¡ - 2 a . , — 2 a „ y . , - - a , - F a , ,
y , = 4 a 3 • 2 a , + o a , . y , - 2 a , + 3 a , .
3 8 9 . y , — a , + a „ + a , ' a , - F a „ 
y , = a , + 2 a , -F 3 a :, - F 4 a , + a 5, 
y , = x , + 3 a , + 6 a ., f I O a , - f a 5 , 
y, = a, |- 4a, - 10A, -F 2 0 a , -Fa5.
3 9 0 . y , — a , -F 2 .V , F 3 a , — 4 .v „ 3 9 1 . y , = 2 a , 4 - a , — 3 a , ,
y , = 2a , — a , + 2 a , , 5 a „ y , — 3 a , -F x , — 5 a„
y , = 2a , — a , -f 5a , — 4 a „ y , - 4 a , - { - 2 a , — a„
y , = 2 a , - F 3 a , — 4 a , t a , , y, - a , — 7 x 3.
3 9 2 . y , — 2 a , + 3 a 2 - - 5 a , — 4 a , — a „ 
y , = a , — a , - :- 2 a , F 3 .v ,-F O A ,, 
y„ = 3 a , - f 7 a , — 8 a ,,— 1 1a, — 3 a ,, 
y , = a , — A . + a s — 2 a , -F 3 a s .
59
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393. y, 2x, — x24- 3x¡ + 4 x , — xs,
Vi — -v, -!- 2 x , — 3x3 I- .v, -]-2x„, 
i/:, = 5x, — 5xa -I-! 2x3 H- 1 i x 4 — 5.v0,
¡/4 = x , — 3 * ,- |- C,x,+ 3x4— 3xv
394. //, - x¡ + 2xs -f- x , — 2x4 + x 6,
//, -= 2x, — x .+ x .,-i-3x ,+ 2x5, 
i/a -- x, - r 2x, — X.+3.V-Í,
i/, — 2x, -|- x; —3x:, + x4 2x6 , 
l/s = A', Vj-j 3.V.,— X4 !-7xs.
395. y, = 4xI -r3 x a— x3- f xa— x6,
</.*- 2x, xa 3x3 -)- 2x4 5xs ,
3x . x , — 2x4,
y , - x , -|- 5 x . -I-- 2xs — 2 x , + 6x-,
396. //, = x, •!- 2x .— xs 4- 3 x ,— x6-f-2x„
;/. ~ 2.v,— x „ - |-3 x ;l— 4xa + x r,— x 6,
- 3x, |- x ,— x.,-1- 2x,-(- x4-| 3x„ 
y , - - 4x, — 7xs 4- 8x3 — 15x, -¡- Gx5— 5x„
V¡ - 5.v, ¡ 5x, — 6x, + 11 x4 -j- 9xe.
397. y ,- - x , 2 x . ¡ - x..— 3x4 4 -2 a \,
!/•< — 2x, -|- x . - f x a 4 - x4— 3x5, 
y :, == x , + a-„ -r 2.V., |- 2x4— 2x6, 
y , = '2x, I- 3x2 — 5x3 — 17x, -|- l x , , .
Elegir Á de tal modo que la cuarta forma sea combinación lineal 
de las tres primeras.
§ 4. Sistem as de ecuaciones lineales
398. Resolver el sistema de ecuaciones:
x , — 2 x8 -|-x s -|- x 4 = 1, 
x , — 2x2 + x .,— x 4 = — 1, 
x , — 2xl 4 -x ¡,-f-5 x 1 =*5.
399. E legir X de tal modo que el sistem a de ecuaciones tenga 
solución:
2 a , — x a -|- x .-|- x4 = 1 , 
x ,- ; 2xa — x , 4 - 4x , = 2 , 
x , - |- 7 x ,— 4x3 - ¡ - 11 x , = X.
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R eso lver los s is tem as de ecuaciones:
4 0 0 . x . - l - x , — 3 x , = — 1 , 4 0 1 ■ 2 x , + x t + x -.< — 2 .
2 x , + x t — 2 x s = I , a-, - |- 3 x 3 - r * , ~ 5 ,
* | + .v . - l - x 3 = 3 . x s | 5 . v . , - - 7 ,
x , + 2x, - 3.v., = 1 . 2 x , + 3 x , — 3 x , - 1 4 .
4 0 2 . 2 x , — x . - h 3 x ., — 3 . 4 0 3 . x , - r 3 x , + 2 x , = 0 ,
3 x , + x s - 5 x , = 0 , 2 x , x s ¡ 3 x ., ■ 0 ,
4 x , — x t + x 3 - - 3 , 3 x , — 5 x , - | - 4 - v 3 = 0 .
x , + 3 x j— 13xa = -C ». x . | - 17*, ¡-4x, — 0
4 0 4 . 2 x , - f x , — x :. + x , = I ,
3 x , — 2 .v , + 2 x a — 3 x , -= 2 ,
5 x ,H - * , — x :l H- 2 .v , — 1,
2 x , — x . * a — 3 x , — 4 .
4 0 5 . 2 * , — x . I - X:, — A , = l .
2 x , — x , 3 x , = s 2 ,
3 * . — x , “ — 3 ,
2 x , 4 - 2 x , — 2 x , 5 = — b .
4 0 6 . X ,— 2 x , H - 3 * , — 4 x , = 4 , 4 0 7 . x , | - 2 x a 3 v., 4 - 4 x 4 = 1 1 .
x ,— x 3 - r x, = — 3 , 2x , - |- 3 x a I 4 x , I- x , = 12,
x, -f 3 x j —3 * ,= 1, 3v. l-4.vvl- x , -|- 2.v. — 1 3 ,
—7 x , + 3 x , t X . . - - 3 . 4.V.-I- x,H-2x, H-3*4 = 14.
4 0 8 . 2 X . + 3 .V ,— x , + 5 * , = 0 , 4 0 9 . 3 x , I- 4 x L, - 5 x , + 7 .v 4 = 0 .
3 x , - x , - f 2 x s — 7 x , = - ü , 2 x , — 3 * . , - , - 3 x 3 - 2 x 4 - 0 ,
4 x , + x.; — 3 x , - r ( ) í , = 0 . 4 .v . - - I l x . — 1 3 * , - | - 1 6 x , = 0 ,
* , — 2 x , - ¡ - 4 * , — 7 * , = 0 . 7 x , — 2 x „ - | - 3 x 4 = 0 .
4 1 0 . x , + x a — 3 * , — x , = 0 , 
x ,— x, + 2x ,— *4 = 0,
4 x , — 2 x s -j- 6 x ., + 3 x 4— 4 x „ — 0 ,
2 x , - f 4 x , — 2 * a I- 4 x , —- 7 x s — 0 .
411. x , + X , - ; - x . , x , + x , — 7 ,
3 x , - ¡ - 2 x , - ¡ - X;¡ —|— x 4 3Xa"— 2 .
* 2 -i 2 x :, - i - 2 x , 1- 6 x 4 - = 2 3 ,
5 x . + 4 x , , 3 x s - r 3.Vj x 6 - 1 2 .
4 1 2 . x , — 2 .V , - ! - * ,— x , x „ - 0 ,
2 x , - | - x 3 — x 3 + 2 x 4— 3 x . = = 0 ,
3 x , — 2 x a — x ., |- x 4— 2 x 4 = 0 ,
2 x , — 5 x , - f x , — 2 x , + 2 x 5 = 0 .
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4 1 3 . a , — 2 a, + a, + a , — a, — O,
2x, - - a . — a , — .v. -• ,Vj = 0 .
x , + 7 a , — 5 a , — 5 a , 4 - 5 a , — 0 , 
3 x , — a , — 2 a ,- |- a , — a . ^ 0 .
4 1 4 . 2 a , -h -V. — xs— ,v ,+ a j = 1,
A-,— X . - f A , -|- X, 2 x , = 0,
3 x , -¡- 3 a . — 3 a , — 3 x , -|- 4.v,, — 2.
4 a-, -! 5a-. — 5 a , — 5a-, + 7x„ = 3 .
4 1 5 . 2 a , - 2a- ,-I - .V, * , + x , = 1,
X , + 2.V, — X ,+ A ,— 2xs ^ 1, 
4 a , — 1 Oa , -I- 5a, — 5 a , -I- 7 a, = 1, 
2a , — 14x, i- 7a3— 7 a , -j- 1 1a, — — 1
4 1 6 . 3 a ,- ; - a., — 2a-, | a , — a 5 — I,
2a , — a, 4- 7 a, — 3a , 4 - 5 a . = 2,
a , 3a-, — 2 a , I- 5 a ,— 7 a , = 3,
3 a , — 2 a , 7 a ,— 5 a , + 8a , = 3.
41 7 . a , 4 2 a, — 3 a, 4 - 2 a, — 1,
a , — a . — 3 a ,- ,1- a-,— 3 a , — 2 ,
2 a , — 3 a . 4- 4 a , — 5 a , 4 - 2 a , — 7 .
9 a , — 9 a . 4- 6a , — I 6a , + 2 a , = 25.
41 8 . a , 4 - 3 a , ~1~ 5 a, — 4 a, = 1,
a , H- 3 a. 4 - 2a , — 2a, 4 - a, — — 1,
A, ¿X. -|- A, Aj A, = 3 ,
A, — 4 a , X., + A ,— A , = 3 ,
A, ¡- 2.V, — A-,— A, 4 - A, = — 1 .
41 9 . a , -|- 2 a . , - |-3 a, — a , =-- 1,
3 a , 4 - 2 a . -T A ,— A,»-. I ,
2-v, + 3 a , -i- a - •- a , — 1, 
2 a .- I -2 a .- I -2 .v - ,— a , = 1,
5 a , - |- 5 a , — 2 a , — 2.
42 0 . a , — 2 a , + 3 a , — 4 a , + 2 a , = — 2, 
a , - r 2 a . — a , — a , — 3 , 
A ,— A. ; 2 a .,— 3 a , — 10,
-V,— A, — A", — 2a, — - 5, 
2 a , -¡-3.V,— a.,-; a, + 4a , = 1.
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421. El sistem a
a y + bx = c, 
ex 4-02 = 0, 
la 4- cu = a
tien e solución única. D em ostrar que ubc^+l) y ha lla r la solución. 
R esolver los s istem as de ecuaciones:
422. X x + y + 2 = 1 , 423. Xx -|- 1l-'r 2 + = 1,
x + X y + 2 =* X, X-J-Xí/4- 2 - r = x .
* + u - \-X2 = x ¡ x 4* Í/4-X2-I- = X2,
X + y + 2 4“ X = x a-
424. x 4- ay + a~z = o’ 425 •v-t- 1/4- 2 - 1.
a: -|- by -i- h-z = b:‘, ax - - by 4- <‘2 = d,
x + cy 4- c!z = c \ <i2.v 4- b‘y |- f =2 - i í 2.
426. 0 * 4 - !/ + a —4, 427 íi.v 4- by 4 - 2 1,
x + by + z^= 3, x -1- aby 4- 2 b.
X + 201/ -|-2 = 4. * 4 - b y + a z • 1.
428. a x 4- 1/4- 2 = ni 429. x-(- m /4 - a-z -1 .
x - i-a i /4 - z ~ n , .v -|- ay ala - a .
x + y 4- e/a = p bx + a-y +