Una sucesión se puede pensar como una lista de números escritos en un orden definido: a1, a2, a3, a4, . . . , an, . . . El número a1 recibe el nombre de primer término, a2 es el segundo término y, en general, an es el n-ésimo término. Aquí tratamos exclusivamente con sucesiones infinitas, por lo que cada término an tiene un sucesor an 1. Observe que para todo entero positivo n hay un número correspondiente an, por lo que una sucesión se puede definir como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Pero usualmente escribimos an en lugar de la notación de función f (n) para el valor de la función en el número n. NOTACIÓN La sucesión a1, a2, a3, . . . también se denota mediante an o an n 1 EJEMPLO 1 Algunas sucesiones se pueden definir dando una fórmula para el n-ésimo término. En los ejemplos siguientes se ofrecen tres descripciones de la sucesión: una en la que se aplica la notación anterior, en otra se aplica una fórmula definida y en la tercera se escriben los términos de la sucesión. Observe que la n no tiene que empezar en 1. a) b) c) d) n n 1 n 1 an n n 1 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , . . . , n n 1 , . . . 1 n n 1 3n an 1 n n 1 3n 2 3 , 3 9 , 4 27 , 5 81 , . . . , 1 n n 1 3n , . . . {sn 3 }n 3 an sn 3 , n 3 {0, 1, s2 , s3 , . . . , sn 3 , . . .} cos n 6 n 0 an cos n 6 , n 0 1, s3 2 , 1 2 , 0, . . . , cos n 6 , . . .
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
Algunas sucesiones se pueden definir dando una fórmula para el n-ésimo término. En los ejemplos siguientes se ofrecen tres descripciones de la sucesión: una en la que se aplica la notación anterior, en otra se aplica una fórmula definida y en la tercera se escriben los términos de la sucesión. Observe que la n no tiene que empezar en 1.
Encuentre una fórmula para el término general an de la sucesión 3/5, 4/25, 5/125, 6/625, 7/3125, ... y suponga que el patrón de los primeros términos continúa.
En este caso hay algunas sucesiones que no tienen una ecuación que las defina en forma simple. a) La sucesión pn , donde pn es la población mundial el 1 de enero del año n. b) Sea an el n-ésimo dígito en la expansión decimal del número e, entonces an es una sucesión bien definida cuyos primeros términos son 7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5,… c) Las condiciones siguientes definen en forma recursiva la sucesión de Fibonacci fn f1 1 f2 1 fn fn 1 fn 2 n 3 Cada uno de los términos es la suma de los dos anteriores. Los primeros términos son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Esta sucesión surgió cuando el matemático italiano del siglo xiii, a quien se conoce como Fibonacci, resolvió un problema que se relacionaba con la cría de conejos (véase ejercicio 83).