El concepto «resto de dividir un número por 5» se traduce en el lenguaje propio de Excel por «=residuo(Num;5>». La instrucción para hallar el producto de 4 por 3 en módulo 5 sería, pues, «=residuo(4-3;5)», operación que nos devolvería el valor 2. Estas tablas resultan de gran ayuda a la hora de operar en aritmética modular. ¿Qué relación tiene la aritmética modular con el cifrado César? Para responder a la pregunta se dispone un alfabeto convencional y otro con un desplazamiento de 3 letras, a los cuales se añade, arriba, una correspondencia numérica para los 27 caracteres. Se observa que la versión cifrada de un carácter de número x (en el alfabeto llano) es el carácter que ocupa la posición x + 3 (también del alfabeto llano). Por tanto, interesa hallar una transformación tal que a cada valor numérico le asigne el mismo valor desplazado tres unidades, y tome el resultado en módulo 27. Nótese que 3 es la clave del cifrado. Se define así una función C(ar) = x + 3 (mód. 27), donde x es el valor sin codificar, y C(x) el valor codificado. Basta con sustituir la letra por su equivalencia numérica y aplicar la transformación. Tomemos como ejemplo el mensaje «AZUL», y cifrémoslo. La A sería el 0, C(0) = 0 + 3 = 3 (mód. 27), que corresponde a la D. La Z sería el 26, C(26) = 26 + 3 = 29 = 2 (mód. 27), obteniendo así C. La U sería el 21, C(21) = 21 + 3 = 24 = 24 (mód. 27), obteniendo así X . La L sería el 11, C (ll) = 11 + 3 = 14 (mód. 27), obteniendo así Ñ . El mensaje «AZUL» cifrado con clave 3 es «D CXÑ». En general, si x indica la posición de la letra que se desea cifrar (0 para la A, 1 para la B, etc.), la posición de la letra cifrada [denotada por C(x)] vendrá dada por la fórmula C(x) — (x + k) (mód. n) donde n — longitud del alfabeto (27 para el castellano, incluyendo la ñ) y k = clave, en función de cuyo valor cambiará el mensaje cifrado. El descifrado del mensaje es una operación contraria a la del cifrado. En términos de nuestro ejemplo, descifrar equivale a aplicar la fórmula inversa a la utilizada para cifrar, es decir: C _1(x) = (x — k) (mód. n). Para el caso del mensaje cifrado «DCXN», con un cifrado César de clave 3 sobre el alfabeto castellano, fe = 3 y n = 2 7 y por tanto C _1(x) = (x — 3) (mód. 27). El proceso es com o sigue: Para D x = 3, C _1 (3) = 3 — 3 = 0 (mód. 27), que corresponde a la A. Para C x = 2, (2) = 2 —3 = —1 + 27 s 26 (mód. 27), con lo cual obtenem os la Z . Para X x = 24, C -1 (24) = 24 — 3 = 21 (mód. 27), obteniendo la U. Para Ñ x = 14, C-1 (14) = 14 — 3 = 11 (mód. 27), obteniendo la L. El mensaje «D C X Ñ » cifrado con un código César de clave 3 se corresponde, com o ya se sabía, con el texto llano «AZUL». Finalmente, y para concluir este primer acercamiento a las matemáticas de la criptografía, se puede establecer una nueva transformación, de nombre cifrado afín, que generaliza el cifrado de César. Dicha transformación se define como: C M> (x) = (a-x + b) (mód. n) siendo a y b dos números enteros menores que el número n de letras del alfabeto. El máximo común divisor entre a y n tiene que ser 1 [mcd(a,n) = 1], por que de lo contrario cabría la posibilidad de cifrar de forma diferente un mismo carácter, com o se verá más adelante. La clave de cifrado viene determinada por el par (a, b). Los cifrados afínes generales de la forma explicada ofrecen mayor seguridad que un código César convencional. ¿Por qué? C om o ya se ha visto, la clave de un cifrado afín son los pares de números (a, b). Para el caso de un mensaje escrito en un alfabeto de 27 letras y encriptado mediante un cifrado afín, a y b pueden adoptar cualquier valor com prendido entre 0 y 26. El número de claves posibles de este sistema de encriptación y para un alfabeto de 27 letras es, en consecuencia, 27 x 27 = 729. C om o se observa, el número de claves para en un alfabeto de n letras es n veces mayor que el de un código César. El aumento es considerable, pero todavía susceptible de ser descifrado por fuerza bruta. Jugando a espías En el caso de los cifrados afines, ¿bajo qué condiciones es posible descifrar un mensaje, tanto si se es el receptor com o si se es un espía? Profundizaremos en esta cuestión por m edio de un ejemplo sencillo de cifrado para un alfabeto de seis letras com o el siguiente. Se encriptará el texto con un cifrado afín de expresión