5.8. Ecuaciones diferenciales exactas
Dada una ecuación diferencial de primer orden, escrita en la forma: du = 0, o sea: se llama diferencial exacta, si su primer miembro es la diferencial total de una función u(x, y), esto es, si existe una tal función que cumpla: . Derivando las igualdades anteriores respecto a “y” y a “x”: y recordando el teorema de Schwarz de las derivadas parciales cruzadas, resulta: , que expresa la condición necesaria y suficiente para que I sea una ecuación diferencial exacta. Supuesto que I sea una ecuación diferencial exacta, su integración se consigue teniendo en cuenta que: u(x, y) =  P(x, y) dx + (y) =  Q(x, y) dy + (x) II puesto que  P(x, y) dx, contendrá todos los términos de u(x, y) dependientes de x; luego solo faltarán los términos no dependientes de x que figuran en (y). Para determinar esta última función, derivaremos II con respecto a y: , de donde: que permite calcular (y) y por tanto u(x, y). La integral general, en fin, adoptará la forma: u(x, y) = C  I.G. 0 y)dyQ(x,y)dxP(x,  ; dy y u dx x u du       y u y)Q(x, ; x u )y,x(P      x Q y P      x Q y P             )y('dx)y,x(P y )y,x(Q y(' 6  EJEMPLOS: Ejemplo 1 Integrar la ecuación diferencial: . Solución: Como se verifica que: la ecuación es diferencial exacta y, por tanto existe la función u(x, y) que se determina como sigue: de donde: , y por tanto: y la integral general será:  I.G. 0dy y x y 1 dx y 1 x2 2                                22 y x y 1 xy 1 y 1 x2 y y(' y x y x y 1 y x u dx y 1 x2 y x u 22 2            lny(y) ; dy y d y 1 y('    yln y x x y x u 2  Cyln y x x 2  Ejemplo 2 Integrar la ecuación diferencial: Solución: Como: es diferencial exacta. Entonces: De donde: ’(x) = -2x ; (x) = -x2 . Luego u(x, y) = , y la integral general será: Obsérvese que en el presente ejemplo, se ha invertido el orden, lo cual es perfectamente lícito, integrándose Q(x, y)·dy, y obteniendo (x). 0dyedx)1ye(x2 22 xx    222 xxx e x xe2)1ye(x2 y      x2xye2)x('xye2 x )y,x(u xye)dye y x u 22 22 xx      2x xye  2 2 x 2 e x C y ; Cxye   Ejemplo 3 Sea y (en 104 €) el resultado contable anual obtenido por un fabricante cuando vende x (en 103) unidades de su producto. La tasa a la que cambia el resultado respecto a la cantidad vendida viene dada por la EDO: . Hallar la expresión que relaciona ambas variables del problema y juzgar la rentabilidad o viabilidad de la empresa en cuestión. Solución: De la expresión: , se deduce la ecuación: (-xy - x3)dx = , o sea: (-xy - x3)dx - = 0 ; se cumple que: ; por lo que es una EDO exacta. Entonces: ; ; ’(y) = -y2  ; . La integral general es, pues:  I.G. Se cumple que: 2 2 3 y 2 x xxy 'y    2 2 3 y 2 x xxy dx dy    dyy 2 x 2 2        dyy 2 x 2 2        x N x y M      )y( 4 x 2 yx y u dx·xdx·xy y dx xxy()y,x(u 42 33   )y(' 2 x y 2 x y N y x N x y M      3 y )y( 3  3 y 4 x 2 yx y u 342  C 3 y 4 x 2 yx 342  y(0) = 0  C = 0, puesto que si no hay producción puede también considerarse nulo el resultado contable (suponiendo que los costes fijos de la empresa, de haberlos, están compensados por otros ingresos), con lo que la integral particular vendrá d