dadas son: y(0) = 0 , y(/2) = 0. El extremo sólo se puede alcanzar en y = 0. Calculemos , para valores cualesquiera de y’. Se puede comprobar que en esta recta (eje de abscisas) existe un mínimo débil. Como sea que: y = 0 , y’ = 0 , tendremos que la funcional que nos ocupa alcanzará el valor: F(y) = , y la función económica en cuestión valdrá: [OPT] Ec = 4 – 3F2 – e2F = 4 -1 = 3 , lo que supone unos costes variables del comercio antedicho de: CV = 3.000.000 € , para el ejercicio económico de que se trate. y2φ ' y  '' y y2φ '  2φ '' y2  0φ '' yy'  2φ '' y 2'    0u2 dx d u2 '    2/π 0 22 0dx)·y'y( 11 3.4. La función de Weierstrass Sea ahora la funcional: , con y(a) = c, y(b) = d y supongamos que cumple la condición de Jacobi y por tanto la extremal C que pasa por (a, c), (b, d) se puede incluir en un campo con inclinación p(x, y). Se puede probar que el F, que experimenta la funcional al pasar de la extremal C a otra curva próxima, se puede escribir así: . La función de Weierstrass es la función subintegral (integrando) y se representa del siguiente modo: . Es evidente que una condición suficiente para que la funcional F tenga un mínimo es que E  0 y para que tenga un máximo, deberá cumplirse análogamente E  0. Si el extremo es débil bastará que E  0 (o E  0 en el caso de máximo) se cumpla para valores de x e y próximos a la extremal investigada y para valores de y’ cercanos a p(x, y); para que exista un extremo fuerte se deben cumplir análogas condiciones y además cumplirse para y’ cualquiera. Veamos un ejemplo. Ejemplo 2: Sea la funcional: , con las condiciones de frontera: y(0) = 0, y(1) = 1. Como  = y’3, sólo depende de y’ (Franquet, 2014) (ver nuestra monografía, cap. 8a), resultará que, por aplicación de la ecuación de Euler-Lagrange-Poisson, resulta: , y la ecuación característica de la homogénea: 2 = 0   = 0, con lo que la solución general de la EDO será: y = C1x + C2 .      b a ' dx y,y,xφxyF           dx p,y,xφ pyp,y,xφy,y,xφF ' p ''          p,y,xφ pyp,y,xφy,y,xφy,p,y,x E ' p '''      1 0 3' dxyxyF 0''y 'y6 'y ;'y3 'y 2 2 2       12 Aplicando ahora las condiciones de frontera dadas, veamos que: y(0) = C2 = 0 y(1) = C1 + C2 = 1 , entonces C1 = 1. Resulta entonces la recta: y = x (bisectriz del primer cuadrante del círculo). Las extremales, pues, son las rectas de ecuación: y = C1x + C2; el extremo sólo puede alcanzarse sobre la recta de ecuación: y = x. El haz de rectas y = C1x, forma un campo central, que evidentemente incluye a la extremal, cumpliéndose la condición de Jacobi; la función E, toma la forma: E = y’3 – p3 – (y’ –p) ·3p2 = (y’ – p)2 (y’ + 2p). Si y’ toma valores próximos a p = 1, la función E es positiva, luego se cumplen las condiciones de mínimo débil, un mínimo fuerte, no existe, puesto que si y’ toma valores cualesquiera (y’ + 2p) puede tener cualquier signo. Si ahora, por ejemplo, a partir del funcional dado, se pretende optimizar la función económica que representa los costes totales de una empresa determinada (expresados en millones de €) y viene dada por la expresión: Ec = 6 + 3·eF, se tendrá que (con y = x , y’ = 1): F(y) = , y la función económica en cuestión valdrá: [OPT] Ec = 6 + 3·eF = 14’154845  14.154.845 € (CT). 3.5. Condición de Legendre Si en la función de Weierstrass se sustituye (x,y,y’), por su desarrollo mediante la fórmula de Taylor, se puede escribir la igualdad aproximada siguiente: , siendo q un número intermedio entre y’ y p.   1 0 3 1dx·'y      q,y,xφ ! 2 py y,p,y,xE '' y 2' ' 2'   Veamos como ejemplo de ello la misma funcional del ejemplo anterior. Se tendrá que: ; ; . Como , para valores de y’ próximos a p = 1, se tiene , luego existe mínimo débil; para y’ cualquiera no se puede afirmar nada, luego no existe mínimo fuerte. A continuación, vamos a resumir en los siguientes cuadros las condiciones de extremo débil y de extremo fuerte, indicando las distintas formas de combinar las condiciones de suficiencia: EXTREMO DÉBIL 1ª 2ª Condición de Jacobi Condición de Jacobi Existe un campo de extremales que incluye a la dada 3ª Se estudia en la extremal dada. Si > 0 mínimo, si < 0 máximo Se estudia E para los puntos próximos a la extremal y para y’ próxima a p(x,y). Si E  0 mínimo, si E  0 máximo Se estudia E para los puntos próximos a la extremal y para y’ próxima a p(x,y). Si E  0 mínimo, si E  0 máximo 0φ dx d φ ' y ' Y '  '' y 2'φ 3'yφ  2'' 'y y3φ  ''' y y6φ 2'  '' y 2'φ 0φ '' y 2'  EXTREMO FUERTE 4. MÉTODOS DIRECTOS EN LOS PROBLEMAS DE CÁLCULO DE VARIACIONES La idea directriz de los llamados “métodos directos” es considerar los problemas variacionales como el límite de un problema sobre el extremo de una función con un número finito de variables. Sólo nos detendremos a exponer someramente el llamado de “diferencias finitas”, aunque existen otros, como el de Ritz o el de Kantorovich, mucho más potentes, pero que rebasan el carácter práctico de este curso. Sea la funcional: . Dividamos el segmento [a,b] en n partes iguales, mediante las abscisas: a = x0 , x0 + x , x0 + 2x , …x0 +(n – 1) x , xn = b , siendo: 1ª 2ª Condición de Jacobi Condición de Jacobi Existe un campo de extremales que incluye a la dada 3ª Se estudia para los puntos (x,y) próximos a los puntos de la extremal y para valores cualesquiera de y’. Si  0 mínimo, si  0 máximo Se estudia E para los puntos próximos a la extremal y para y’ cualquiera. Si E  0 mínimo, si E  0 máximo Se estudia E para los puntos próximos a la extremal y para y’ cualquiera. Si E  0 mínimo, si E  0 máximo 0φ dx d φ ' y ' Y '  '' y 2'φ      b a ' dxy,y,xφxyF