¿Cómo se pueden deducir tres enteros positivos cuadrados perfectos tales que la suma de dos cualesquiera de ellos sea otro cuadrado?

❑ ❑ ❑ (Problema de los tres cuadrados)

Contesto a la pregunta que yo mismo formulé, por si alguien encontraba algún método interesante y aún desconocido, en vista de que nadie ha respondido todavía.

La Historia de la Matemática es mucho más interesante cuando se vive a través de las ideas y aportaciones de los matemáticos del pasado, que cuando se limita a dar fechas y detalles biográficos inconexos. De hecho, de la Historia de la Matemática se puede extraer pistas valiosas para afrontar problemas actuales, porque es, antes que nada, un gran museo de ideas, procedimientos y descubrimientos que siguen soportando el peso de los siglos sucesivos, pero que mantienen, muchos de ellos, toda su validez, su vigencia y su frescura; y aún más, su fascinante valor estético, en muchos casos.

Este clásico problema de los tres cuadrados, por tanto, es más bien un pretexto para introducir a cualquier lector en los territorios más accesibles de la teoría de números; especialmente a los jóvenes estudiantes que necesitan estímulos y retos para zambullirse con afición en esta apasionante rama de las matemáticas.

Se trata de encontrar valores enteros positivos para x,y,z, a,b,c, tales que:

x²+y²=a²

x²+z²=b²

y²+z²=c² (I)

Para resolver este problema, que es un sistema de tres ecuaciones diofánticas cuadráticas homogéneas con seis incógnitas (¡y nada trivial!), hay muchos métodos (sorprendentes casi todos ellos) que nos legaron, junto a otros menos conocidos, algunos inolvidables matemáticos del pasado; uno de ellos, el gran Leonhard Euler, que hace verdaderas cabriolas numéricas para resolver el problema y finalmente lo resuelve con tanto virtuosismo aritmético y algebraico que verdaderamente se aprecia el don que tenía: su facilidad fuera de serie para manejar las matemáticas a base de ideas brillantes y procedimientos ad hoc. Ante ellos el lector se ve anonadado por el talento extraordinario del genial matemático suizo. De hecho, la insólita fecundidad de ideas que distinguía a Euler en el campo de la creación matemática muestra paralelismos con la genialidad de Mozart para componer música. Tal vez en alguna ocasión me anime a contar la ingeniosa resolución que aportó el sabio de Basilea a este problema de los tres cuadrados (si hay alguien interesado en ello…).

Pero en esta respuesta quisiera desempeñar el papel de un arqueólogo, que excavando en la Historia de la Matemática, extrajera un fascinante testimonio de los primeros métodos que se ensayaron para resolver problemas de teoría de números en la primera mitad del siglo XIX, en el "subcampo" concreto de las ecuaciones diofánticas.

Y he elegido a un profesor que en la literatura matemática es un completo desconocido: C. Gill. A propósito de la historia del problema de los tres cuadrados, menciona su nombre el erudito profesor americano Leonard Eugene Dickson, en el segundo tomo de su monumental History of the theory of numbers, Chelsea 1923.

Gill fue profesor de matemáticas en el Saint Paul College de Londres.

En el año 1848 publica un libro (raro) editado por el prestigioso John Wiley, con el título -algo críptico- Application of the Angular Analysis to the Solution of Indeterminate Problems of the second degree.

En principio, el término "Análisis angular" podría interpretarse de varias maneras, pero Gill llama así a la Trigonometría, o más exactamente, a la parte de la Trigonometría que, al margen de la resolución de triángulos, deduce fórmulas e identidades trigonométricas que pueden emplearse en teoría de números (!!), en particular en relación con el entonces llamado "Análisis indeterminado"; un término hoy día caído en desuso, en favor del más actual, "ecuaciones diofánticas". Los "problemas de segundo grado" significan, en esa época, las ecuaciones diofánticas cuadráticas, o de segundo grado (asunto que, en toda su generalidad, resulta bastante más difícil de tratar de lo que pudiera parecer a simple vista, si no se conoce bien ese campo. Véanse las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss).

Esto debería sorprender a cualquiera que no lo haya visto antes, porque los problemas relativos a encontrar números enteros que verifiquen ciertas ecuaciones, no resulta evidente que puedan tener conexión alguna con las funciones trigonométricas, cuyos valores de seno y coseno de un ángulo son siempre números menores o iguales que 1, y además, la mayoría de las veces son irracionales, y aún trascendentes. Pero en la teoría de números, como en el amor, se emplea toda clase de armas imaginables…de ahí su enorme dificultad: nunca se sabe seguro qué puede haber detrás de un problema hasta que se resuelve. Y así se interconectan campos de la matemática aparentemente lejanos, puesto que a menudo un mismo problema se puede atacar desde muy distintos contextos (aritméticos, algebraicos, geométricos, trigonométricos, combinatorios, analíticos, y hasta topológicos).

Así pertrechado de su "Análisis angular", Gill expone, junto a la de otros problemas nada sencillos, su solución del problema de los tres cuadrados; una solución por demás inesperada y virtuosa; espero que cause la misma profunda impresión estética en los lectores de esta respuesta que la que me causó a mí la primera vez que la vi.

En primer lugar, de x²+y²=a² // x²+z²=b² // y²+z²=c², se deduce, sumando en cada primer miembro el cuadrado que falta:

x²+y²+z²=a²+z² // x²+y²+z²=b²+y² // x²+y²+z²=c²+x² , o bien, en una sola igualdad triple:

a²+z²=b²+y²=c²+x²=x²+y²+z². Por tanto el sistema que se quiere resolver es equivalente a éste otro:

a²+z²=b²+y²=c²+x²

x²+y²=a² (II).

En efecto, del sistema inicial hemos deducido éste; y recíprocamente, si se verifica este último, entonces, sustituyendo a² por x²+y² en el primer miembro de la primera ecuación, queda: x²+y²+z²=b²+y²=c²+x², de donde se deduce inmediatamente (igualando 1ª y 2ª, y luego 1ª y 3ª) x²+z²=b², y²+z²=c², junto con x²+y²=a², que se verifica por hipótesis (Sistema II); es decir, se verifica

el sistema (I) como afirmábamos.

Ahora Gill emplea un hecho básico que es la clave de casi todas las aplicaciones de la trigonometría a las ecuaciones diofánticas cuadráticas.

Lema: Si A es cualquier ángulo tal que 0º

sen A, cos A, tg A, cotg A, sec A, cosec A son todas números racionales cuando, y solo cuando, tg (A/2) es racional. [O equivalentemente, cuando cot (A/2) sea racional]

Demostración: Es sabido que todas las funciones trigonométricas directas se expresan en función racional de tg (A/2). Por si interesa a algún estudiante de bachillerato la demostración elemental de esta propiedad (muy útil también en el cálculo de muchas integrales trigonométricas), véase a continuación.

Si se representa por t=tg (A/2), la fórmula de adición para la tangente es

tg (a+b)=(tg a+tg b)/(1-tg a tg b), que aplicada al caso a=b=A/2 da:

tg A= 2t/(1-t²)

de la fórmula fundamental sen² (A/2)+cos²(A/2)=1, dividiendo por cos²(A/2), se obtiene tg²(A/2)+1=1/cos²(A/2), luego cos²(A/2)=1/(1+t²).

cos (A/2 + A/2)= cos² (A/2)-sen² (A/2), es decir,

de las dos identidades

cos A=cos² (A/2)-sen² (A/2) (&)

1= cos²(A/2)+ sen²(A/2) (&&)

se deduce sumando miembro a miembro, 1+cos A=2cos²(A/2), luego sustituyendo cos²(A/2) por su valor anteriormente establecido, 1/(1+t²), tenemos:

cos A =2*1/(1+t²)-1→

cos A=(1-t²)/(1+t²)

Ahora, como sen A =cos A * tg A → sustituyendo por sus valores en función de t:

sen A=[(1-t²)/(1+t²)] * [2t/(1-t²)]→

sen A=2t/(1+t²)

La secante y la cosecante por ser inversas del coseno y del seno, respectivamente, se expresan en función de t, y lo mismo para la cotangente, que es inversa de la tangente.

En resumen, si t=tg (A/2), se tiene:

(1) sen A=2t/(1+t²) // cosec A=(1+t²)/2t

(2) cos A=(1-t²)/(1+t²) // sec A=(1+t²)/(1-t²)

(3) tg A= 2t/(1-t²) // cot A=(1-t²)/2t

Y si u= cot (A/2) se tiene análogamente (sustituyendo en las anteriores t=1/u):

sen A=2u/(u²+1) //// cosec A=(u²+1)/2u

cos A=(u²-1)/(u²+1) //// sec A=(u²+1)/(u²-1)

tg A= 2u/(u²-1) //// cot A=(u²-1)/2u

Evidentemente, si t=tg (A/2) es racional, de las fórmulas (1), (2) y (3) se deduce que las seis funciones trigonométricas directas son racionales, como afirma el lema.

Recíprocamente, supongamos solo que son racionales sen A, cos A; inmediatamente se ve que deben serlo sus inversas, secante y cosecante, y también su cociente sen A / cos A = tg A, y su inversa cot A. También, de la identidad ya probada antes,

1+cos A = 2 cos² (A/2); restando miembro a miembro la (&&) y la (&):

1-cos A = 2 sen² (A/2). Dividiendo miembro a miembro estas dos últimas,

(1-cos A)/(1+cos A)=sen² (A/2) : cos² (A/2)=tg² (A/2), es decir,

tg² (A/2)=(1-cos A)/(1+cos A)

luego tg²(A/2)=t² debe ser racional, por serlo cos A. Pero entonces, como

sen A =2t/(1+t²) → t= (sen A)*(1+t²)/2 , siendo sen A racional y t² racional, se deduce que t=tg (A/2) es racional, que es lo que afirma el lema y lo que queríamos demostrar.

Evidentemente, siendo racionales sen A, cos A y tg A, si m es entero, serán también racionales las funciones trigonométricas del ángulo múltiplo mA, donde m es cualquier entero positivo, negativo o nulo, o sea,

sen mA, cos mA, tg mA, sec mA, cosec mA y cotg mA son racionales siempre que sen mA ≠ 0 [y/o] cos ma ≠ 0, si se requiere que estén definidas (con valor finito), respectivamente, la cot mA [y/o] la tg mA.

LA ECUACIÓN PITAGÓRICA x²+y²=z² (se buscan soluciones con x, y, z enteros positivos).

Para intuir a través de un ejemplo sencillo porqué es útil la trigonometría en muchas ecuaciones diofánticas cuadráticas, partamos de sen² A+cos² A=1.

Dividiendo la ecuación pitagórica por z²:

(x/z)²+(y/z)²=1; luego para cierto ángulo A es

x/z=sen A;

y/z=cos A; expresando sen A y cos A en función de t=tg (A/2),

x/z=2t/(1+t²)

y/z=(1-t²)/(1+t²); asignando a t valores racionales, t=n/m,

x/z=2t/(1+t²)=[2(n/m)]:[1+(n²/m²)]=2mn/(m²+n²)

y/z=(1-t²)/(1+t²)=[(1-(n²/m²)]/[1+(n²/m²)]=(m²-n²)/(m²+n²)

→ z es libre, y tomando z=m²+n², sale:

x=2mn

y=m²-n²

z=m²+n², donde m y n son enteros cualesquiera, puesto que se tiene idénticamente:

(m²-n²)²+(2mn)²=(m²+n²)². Por ejemplo, con m=2, n=1, sale:

3²+4²=5².

El método trigonométrico sirve también para encontrar todos los triángulos herónicos, es decir, triángulos no rectángulos cuyos lados y área son números enteros (positivos, claro está).

EL PROBLEMA DE LOS TRES CUADRADOS. MÉTODO DE GILL.

Cualquier sustitución directa de la solución de la ecuación pitagórica x²+y²=a² en las otras dos del sistema (II)

a²+z²=b²+y²=c²+x²

x²+y²=a²

conduciría a dos ecuaciones de cuarto grado, y con varias incógnitas, tal vez una resultante final de grado 16 o de octavo grado, si se puede emplear alguna "simplificación", pero en todo caso sería un problema prácticamente intratable.

Resumo aquí la solución de Gill evitando apoyarme en algunos resultados intermedios que él usa antes como lemas, en la primera parte del libro, y los expongo directamente, con su demostración explícita.

La astucia esencial de Gill consiste en sustituir:

b=a cos A+z sen A

y=z cos A-a sen A, donde A es un ángulo que se determinará después.

Sustituyendo, b²+y²=(a cos A+z sen A)²+(z cos A-a sen A)²=

=(a²+z²) cos² A+(a²+z²) sen² A=(a²+z²)(cos² A+sen² A)=a²+z²

Para satisfacer a la segunda ecuación, se toma:

c=a cos B+z sen B

x=z cos B-a sen B, donde B es otro ángulo que se determinará después.

Por tanto, c²+x²=a²+z²=b²+y²; se cumplen así las dos primeras ecuaciones del sistema (II) [equivalente al (I)] y ya solo falta satisfacer a la tercera ecuación del sistema (II), es decir, x²+y²=a².

Sustituyendo x, y por sus valores asignados:

(z cos B-a sen B)²+(z cos A-a sen A)²=a². Las incógnitas ya solo son z, a y los ángulos A, B. Desarrollando:

z²*(cos²B+cos²A)+a²(sen²B+sen²A)-2az (sen A cos A+ sen B cos B)=a²

La simplificación que hace Gill ahora es elegir para A y B ángulos complementarios, es decir, A+B=90º, de donde B=90º-A, lo que conlleva la dualidad: sen A = cos B, así como cos A = sen B. De este modo, ya desaparece B:

z²*(sen²A+cos²A)+a²(cos²A+sen²A)-2az (sen A cos A+ sen A cos A)=a²

z²+a²-4az sen A cos A = a² → z²=4az sen A cos A; z=0 no nos interesa, queremos que x, y, z sean positivas, luego será z≠0; por tanto, podemos dividir por z:

z=4a sen A cos A, solución de la ecuación anterior.

Ahora, para hacer racionales sen A y cos A, tomamos t= tg (A/2) racional, por ejemplo,

tg (A/2)=t=s/r, donde s y r son enteros con r≠0.

De este modo será: sen A= 2t/(1+t²) = (2s/r):(1+s²/r²)=2rs/(r²+s²)

También cos A = (1-t²)/(1+t²) = (1-s²/r²):(1+s²/r²)=(r²-s²)/(r²+s²)

Sustituyendo en la expresión de z:

z=4a * 2rs/(r²+s²) [(r²-s²)/(r²+s²)]=8a * rs(r²-s²)/(r²+s²)²

Los valores que asignamos al principio a x e y recordamos ahora que eran:

x=z cos B-a sen B

y=z cos A-a sen A, pero como B=90º-A, los valores de x, y deben ser:

x=z sen A-a cos A

y=z cos A-a sen A

Sustituyendo z, sen A y cos A por sus valores en función de r, s:

x=[8a * rs(r²-s²)/(r²+s²)²] *2rs/(r²+s²)-a*(r²-s²)/(r²+s²)

y=[8a * rs(r²-s²)/(r²+s²)²]* (r²-s²)/(r²+s²) - a *2rs/(r²+s²), simplificando:

x = [a/(r²+s²)³] * [16r²s²-(r²+s²)²](r²-s²)

y = [a/(r²+s²)³] * 2rs *[4(r²-s²)²-(r²+s²)²]

z= [a/(r²+s²)³] * 8rs(r²+s²)(r²-s²); finalmente asignamos libremente el valor de a:

a=(r²+s²)³, puesto que esto ya hace enteros a x,y,z; y como en el sistema (I) o el (II), que es equivalente, todas las incógnitas están elevadas al cuadrado, podemos tomar los valores absolutos, que siempre son positivos, mientras sea 0≠|r|≠|s|≠ 0.

Esto no lo cuenta Gill, pero es sencillo de probar, aunque para probarlo, siendo un hecho sobre enteros, haya que hablar de números irracionales (sorpresas de la teoría de números):

En efecto, el factor 4(r²-s²)²-(r²+s²)², que aparece en el valor de y, no puede anularse, porque entonces sería

2(r²-s²)=±(r²+s²), de donde o bien r²/s²=3, o bien s²/r²=3, algo imposible porque r y s son enteros y sabemos que √3 es irracional.

Tampoco puede anularse el factor 16r²s²-(r²+s²)², que aparece en la expresión de x, pues entonces:

(4rs)² = (r²+s²)²→ r²+s² = ±4rs. Supongamos r²+s² = 4rs→ r²+s²-4rs=0. Para ver que no es posible esta igualdad si son enteros r y s, dividimos por s², dado que la ecuación es homogénea, y resulta (r/s)²-4 (r/s) + 1=0. Sin embargo, esta ecuación cuadrática en r/s daría

(r/s)=2±√3 , de nuevo un número racional igual a un irracional, contradicción que proviene de suponer que r²+s²-4rs=0.

Si, finalmente, fuera r²+s² = -4rs→ r²+s²+4rs=0. Dividiendo por s²:

(r/s)²+4 (r/s) + 1=0→(r/s)=-2±√3, otra vez un racional igual a un irracional, una contradicción que implica por tanto que, como afirmábamos, basta que r y s cumplan con ser enteros, positivos o negativos, tales que 0≠|r|≠|s|≠ 0, para que los valores de x,y,z así como los de a,b,c sean enteros distintos de cero.

SOLUCIÓN PARAMÉTRICA FINAL:

x = |16r²s²-(r²+s²)²| |r²-s²|

y = 2rs * |4(r²-s²)²-(r²+s²)²|

z= 8rs * |r⁴-s⁴|

da una familia infinita de soluciones enteras y positivas para el problema de los tres cuadrados, donde r y s son enteros cualesquiera, tales que 0≠|r|≠|s|≠ 0.

Podrían darse fórmulas análogas para a,b,c, pero es más rápido deducir sus valores como a=√(x²+y²); b=√(x²+z²) ; c=√(y²+z²), que ya siempre van a resultar enteros y positivos.

Observación: Gill da estas fórmulas en forma más condensada, aunque absolutamente equivalente a éstas, solo que deduce finalmente la forma característica de la solución clásica que, en el siglo XVIII, dio el profesor Saunderson, de Cambridge, en su tratado The Elements of Algebra in ten books (1740), y expresa varias incógnitas mediante funciones especiales que define él mismo, valiéndose de relaciones trigonométricas; de modo que para aclarar las cosas y no emplear notaciones que no son universalmente conocidas, prefiero exponer las fórmulas paramétricas en función de r y s, por cierto, como publica Dickson (1923) en su gran obra enciclopédica, ya citada al principio.

Evidentemente, sirve como solución cualquier permutación de los valores

de x, y, z puesto que entran en la ecuación de manera simétrica. Y es sencillo probar que si x, y , z son solución del problema, también lo es xy, xz, yz; en efecto,

si x²+y²=❑ (notación de Euler para los cuadrados perfectos),

x²+z²=❑

y²+z²=❑, entonces (xy)²+(xz)²=x²(y²+z²)=❑*❑=❑,

(xy)²+(yz)²=y²(x²+z²)=❑*❑=❑

(xz)²+(yz)²=z²(x²+y²)=❑*❑=❑

Ejemplos numéricos:

1) Tomamos r=2, s=1, y obtenemos la solución mínima del problema:

x=117

y=44

z=240

En efecto,

117²+44²=125²

117²+240²=267²

44²+240²=244²

Con r=3, s=2 obtenemos otra de las infinitas soluciones:

x=2035 // y=828 // z=3120, de modo que:

2035²+828²=2197²

2035²+3120²=3725²

828²+3120²=3228²

El razonamiento perspicaz y la cantidad de ideas que deben ponerse en juego para resolver un problema como éste no pueden compararse con programar un ordenador en bucle para que analice cuántas soluciones hay con los valores de los enteros positivos x,y,z limitados a ser menores que 1000 millones. Desgraciadamente, hay veces en que no queda otra salida, pero es una lacra de nuestra época pensar automáticamente en elegir la salida de emergencia, cuando hay salidas mucho más "honorables"…