Caso 3. Se fabrican dos productos A y B en cantidades x e y respectivamente. Por la venta de cada unidad A se obtienen 3 euros y por cada unidad de B se obtienen 4 euros. La producción de la empresa ha de adaptarse a la restricción dada por la ecuación: 9x2 + 4y2 = 18000. Calcúlense las unidades que se han de producir de cada producto para maximizar los ingresos (Sánchez, 2014). Solución: a) Se trata de maximizar la función de ingreso: I(x) = 3x + 4y bajo la restricción: 9x2 + 4y2 = 18000, por el método de los multiplicadores de Lagrange. Para ello, en primer lugar, construimos la función lagrangiana: L(x, y) = 3x + 4y +(9x2 + 4y2 – 18000). - Condición necesaria o de primer grado: - Condición suficiente o de segundo grado: A partir del Hessiano orlado relevante, y de sus menores principales podremos saber si existe realmente un máximo. Tenemos que hallar el signo de sus n-m últimos menores, siendo n el número de incógnitas de la función de ingreso y m el número de restricciones. En este caso, n - m = 2 – 1 = 1, de modo que calculamos el signo del último menor: , que en el punto crítico condicionado será: . Como (-1)m+1 = (-1)2 = 1 > 0 entonces hay un máximo relativo en el punto crítico en cuestión, y las unidades que ha de producir de A y B para maximizar los ingresos son x = 20, y = 60.