El siguiente espacio jugará un papel importante en las aplicaciones del próximo capítulo. a sucesión de funciones continuamente diferen- ciables en [a; b] tales que (fk) converge a f puntualmente en [a; b] y (f 0k) converge a g uniformemente en [a; b]; entonces f es continuamente diferenciable en [a; b] y f 0 = g: Demostración: Sea x0 2 (a; b): Aplicando el teorema del valor medio a la función fj � fk se tiene que, para cada x 2 (a; b); existe �x 2 (a; b) tal que fj(x)� fk(x)� (fj(x0)� fk(x0)) = � f 0j(�x)� f 0k(�x) � (x� x0): En consecuencia, jfj(x)� fj(x0)� fk(x) + fk(x0)j � 1 jx� x0j 8x 2 (a; b): Como (f 0k) converge en C0[a; b], dada " > 0 existe k0 2 N tal que jfj(x)� fj(x0)� fk(x) + fk(x0)j � " 3 jx� x0j 8x 2 (a; b); 8j; k � k0: 80 5. COMPLETITUD Tomando el límite cuando j !1; concluímos que jf(x)� f(x0)� fk(x) + fk(x0)j � " 3 jx� x0j 8x 2 (a; b); 8k � k0: (5.2) Por otra parte, existe k1 2 N tal que jf 0k(x0)� g(x0)j < " 3 8k � k1: (5.3) Sea k� := m�axfk0; k1g; y sea � > 0 tal que����fk�(x)� fk�(x0) x� x0 � f 0k�(x0) ���� < " 3 si jx� x0j < �: (5.4) De las desigualdades (5.2), (5.3) y (5.4) se sigue que����f(x)� f(x0) x� x0 � g(x0) ���� � ����f(x)� f(x0) x� x0 � fk�(x)� fk�(x0) x� x0 ���� + ����fk�(x)� fk�(x0) x� x0 � f 0k�(x0) ����+ ��f 0k�(x0)� g(x0) �� < " si jx� x0j < �: Es decir, f es diferenciable en x0 y f 0(x0) = g(x0): Finalmente, como f 0k 2 C0[a; b]; se tiene que g 2 C0[a; b]; es decir, f es continuamente diferenciable en [a; b]: 5.3. Espacios completos de funciones A continuación daremos un criterio que garantiza la convergencia uniforme de una sucesión de funciones en términos de la sucesión misma. Sean S un conjunto y X = (X; dX) un espacio métrico. De�nición 5.19 Una sucesión de funciones fk : S ! X; k 2 N; es uniformemente de Cauchy en S si, para cada " > 0, existe k0 2 N tal que dX(fk(z); fj(z)) < " 8j; k � k0, 8z 2 S: El siguiente teorema nos da una condición necesaria y su�ciente para la convergencia uniforme de una sucesión de funciones. Teorema 5.20 (Criterio de convergencia uniforme de Cauchy) Sea X un espa- cio métrico completo. Una sucesión de funciones fk : S ! X; k 2 N; converge uni- formemente en S si y sólo si (fk) es uniformemente de Cauchy en S: 5.3. ESPACIOS COMPLETOS DE FUNCIONES 81 Demostración: Si (fk) converge uniformemente a f en S entonces, dada " > 0, existe k0 2 N tal que dX(fk(z); f(z)) < " 2 8k � k0, 8z 2 S: En consecuencia, dX(fk(z); fj(z)) � dX(fk(z); f(z)) + dX(f(z); fj(z)) < " 8j; k � k0, 8z 2 S: Es decir, (fk) es uniformemente de Cauchy. Supongamos ahora que (fk) es uniformemente de Cauchy en S. Entonces, para cada z 2 S; la sucesión (fk(z)) es de Cauchy en X y, como X es completo, esta sucesión converge a un punto de X al que denotaremos por f(z): Probaremos ahora que fk ! f uniformemente en S. Sea " > 0: Como (fk) es uniformemente de Cauchy, existe k0 2 N tal que dX(fk(z); fj(z)) < " 2 8j; k � k0, 8z 2 S: Y como para cada z 2 S se tiene que fj(z)! f(z) en X; existe k(z) 2 N (que depende de z) tal que dX(fj(z); f(z)) < " 2 8j � k(z). Dadas k � k0 y z 2 S; tomemos j := m�axfk0; k(z)g: Entonces dX(fk(z); f(z)) � dX(fk(z); fj(z)) + dX(fj(z); f(z)) < ". En consecuencia, dX(fk(z); f(z)) < " 8k � k0, 8z 2 S; es decir, (fk) converge uniformemente a f . Recuerda que, si S es un conjunto y V = (V; k�k) es un espacio vectorial normado, entonces B(Z; V ) con la norma uniforme kfk1 := sup z2Z kf(z)k (5.5) es un espacio vectorial normado (ver Ejercicio 2.50). Si Z es un espacio métrico, C0b (Z; V ) es un subespacio vectorial de B(Z; V ): Una consecuencia importante del teorema anterior es la siguiente. Corolario 5.21 Sean S un conjunto, Z un espacio métrico y X un espacio métrico completo. Entonces los espacios métricos B(S;X) y C0b (Z;X) son completos. En particular, si V es un espacio de Banach, entonces B(S; V ) y C0b (Z; V ) son espacios de Banach. 82 5. COMPLETITUD Demostración: Sea (fk) una sucesión de Cauchy en B(S;X): Claramente (fk) es uniformemente de Cauchy en S y, por el Teorema 5.20, (fk) converge en B(S;X): Esto prueba que B(S;X) es completo. Por el Corolario 5.17, C0b (Z;X) es un subconjunto cerrado de B(S;X): La Proposición 5.9 asegura entonces que C0b (Z;X) es completo. Esta propiedad hace que los espacios B(S;X) y C0b (Z;X) jueguen un papel impor- tante en las aplicaciones, como veremos en el siguiente capítulo. Recuerda que, si K es un espacio métrico compacto, entonces toda función continua de K en X es acotada (ver Corolario 4.11), es decir, C0(K;X) := f� : K ! X : � es continuag = C0b (K;X): Por tanto, C0(K;X) es un espacio completo si K es compacto y X es completo. 5.4. Series en espacios de Banach Sea V = (V; k�k) un espacio vectorial normado y sea (vk) una sucesión en V: De�nición 5.22 Decimos que la serie 1P k=1 vk converge en V si la sucesión (wn) de sumas parciales wn := Pn k=1 vk converge en V: Su límite se denota 1P k=1 vk := l��m n!1 nX k=1 vk: Una observación sencilla es la siguiente. Proposición 5.23 Si la serie P1 k=1 vk converge en V; entonces vk ! 0 en V: En par- ticular, (vk) está acotada. Demostración: La sucesión ( Pn k=1 vk) es de Cauchy (ver Proposición 5.2).