Sea J := fj 2 f1; :::;mg : BX(aj; "2) \ D 6= ;g: Para cada j 2 J elegimos un punto bj 2 BX(aj; "2) \D: Entonces se cumple que D � [j2J BX(bj; "): Esto prueba que D es totalmente acotado. (d) Sean A un subconjunto totalmente acotado de X, " > 0, y a1; :::; am 2 A tales que A � BX(a1; "2) [ � � � [BX(am; "2): Como �BX(a1; "2) [ � � � [ �BX(am; "2) es cerrado, se tiene que A � �BX(a1; "2) [ � � � [ �BX(am; "2): En consecuencia, A � BX(a1; ") [ � � � [BX(am; "): Esto prueba que A es totalmente acotado. El siguiente resultado da caracterizaciones muy útiles de los espacios métricos compactos. Teorema 7.4 Las siguientes tres a�rmaciones son equivalentes: (a) X es compacto. (b) Toda sucesión en X contiene una subsucesión que converge en X: (c) X es completo y totalmente acotado. Demostração: (a))(b): Esta es la a�rmación de la Proposición 4.5. (b))(c): Sea (xk) una sucesión de Cauchy en X: Si X satisface (b) entonces (xk) contiene una subsucesión que converge a un punto x 2 X: En consecuencia, (xk) converge a x en X: [Ejercicio 5.30]: Esto prueba que X es completo. Supongamos ahora queX no es totalmente acotado. Entonces existe "0 > 0 tal queX no puede ser cubierto por un número �nito de bolas abiertas de radio "0. Por consiguiente, podemos escoger, inductivamente, una sucesión de puntos xk 2 X tales que xk =2 BX(x1; "0) [ � � � [BX(xk�1; "0): Por tanto, dX(xj; xk) � "0 para toda j 6= k y, en consecuencia, ninguna subsucesión de (xk) es de Cauchy. Esto implica que (xk) no contiene ninguna subsucesión convergente: Es decir, si X no es totalmente acotado, entonces (b) no se cumple. (c))(a): Argumentando por contradicción, supongamos que X es completo y total- mente acotado pero no es compacto. Entonces X tiene una cubierta abierta U = fUi : i 2 Ig que no contiene ninguna subcubierta �nita. Como X es totalmente acotado, está contenido en un número �nito de bolas abiertas de radio 1: Por tanto, existe un punto x0 2 X tal que BX(x0; 1); no puede ser cubierta por un número �nito de elementos de U . Como BX(x0; 1) es totalmente acotado (ver Proposición 7.3), está contenido en un número �nito de bolas abiertas de radio 1 2 cuyos centros están en BX(x0; 1). Por con- siguiente, existe x1 2 BX(x0; 1) tal que BX(x1; 12); no puede ser cubierta por un número �nito de elementos de U : De este modo construímos, inductivamente, una sucesión (xk) tal que xk 2 BX(xk�1; 1 2k�1 ) y BX(xk; 1 2k ) no puede ser cubierta por un número �nito de elementos de U . Para toda j � k, se tiene entonces que dX(xk; xj) � 1 2k�1 ; (7.1) es decir, la sucesión (xk) es Cauchy. Como X es completo, esta sucesión converge a un punto x� en X: Haciendo tender j !1 en la desigualdad (7.1) obtenemos que dX(xk; x �) � 1 2k�1 8k 2 N: Por otra parte, como x� 2 X, existe U� 2 U tal que x� 2 U�. Como U� es abierto, existe " > 0 tal que BX(x�; ") � U�: Sea k tal que 1 2k�1 < " 2 : Entonces, para todo x 2 BX(xk; 12k ); se tiene que dX(x; x �) � dX(x; xk) + dX(x �; xk) < 1 2k + 1 2k�1 < " ; es decir, BX(xk; 1 2k ) � BX(x �; ") � U�: Esto es una contradicción, ya que habíamos supuesto que BX(xk; 12k ) no puede ser cubierta por un número �nito de elementos de U . Observa la similitud de la demostración de la a�rmación (c))(a) con la de la Proposición 4.12, que constituye la parte medular de la demostración del teorema de an K = (K; dK) un espacio métrico compacto y X = (X; dX) un espacio métrico. Consideremos el espacio de funciones continuas C0(K;X) := ff : K ! X : f es continuag con la métrica uniforme d1(f; g) := m�ax z2K dX(f(z); g(z)); que introdujimos en la De�nición 5.16. Usaremos el Corolario 7.6 para obtener una caracterización sencilla de los subconjuntos relativamente compactos de C0(K;X). La siguiente noción jugará un papel fundamental. De�nición 7.7 Un subconjunto H de C0(K;X) es equicontinuo en el punto z0 2 K si, dada " > 0; existe � > 0 (que depende de " y de z0) tal que, para toda f 2 H; dX (f(z); f(z0)) < " si dZ (z; z0) < �: H es equicontinuo si lo es en todo punto de K: 122 7. COMPACIDAD EN ESPACIOS DE FUNCIONES El aspecto crucial de esta de�nición es que la misma � > 0 nos sirve para todas las funciones que pertenecen a H: Un ejemplo en el que esto no se cumple es el siguiente. Ejemplo 7.8 El conjunto H = ffk 2 C0([�1; 1];R) : k 2 Ng; donde fk(t) = 8<: �1 si t 2 � �1;� 1 k � ; kt si t 2 � � 1 k ; 1 k � ; 1 si t 2 � 1 k ; 1 � ; no es equicontinuo en 0: 10 .50­0 .5­1 1 0 .5 0 ­0 .5 ­1 f3 La demostración es sencilla [Ejercicio 7.29]. Denotaremos por B1(f0; r) := ff 2 C0(K;X) : d1(f; f0) < rg a la bola abierta en C0(K;X) con centro en f0 y radio r: Teorema 7.9 (Arzelà-Ascoli) Sean K un espacio métrico compacto y X un espa- cio métrico completo. Un subconjunto H de C0(K;X) es relativamente compacto en C0(K;X) si y sólo si H es equicontinuo y los conjuntos H(z) := ff(z) : f 2 Hg son relativamente compactos en X para cada z 2 K: Demostración: Supongamos que H es relativamente compacto en C0(K;X): En- tonces H es totalmente acotado. En consecuencia, dada " > 0; existen g1; :::; m 2 H tales que H � B1(g1; " 3 ) [ � � � [B1(gm; " 3 ): Por tanto, gi(z) 2 H(z) para i = 1; :::;m; y H(z) � BX(g1(z); " 3 ) [ � � � [BX(gm(z); " 3 ) 8z 2 K: Esto prueba que H(z) es totalmente acotado y, como X es completo, el Corolario 7.6 asegura que H(z) es relativamente compacto en X para todo z 2 K: Por otra parte, comoK es compacto, cada gi es uniformemente continua. En consecuencia, existe �i > 0 tal que, para cualesquiera y; z 2 K; dX (gi(y); gi(z)) < " 3 si dK(y; z) < �i: (7.2) De�nimos � := m��nf�1; :::; �mg: Dada f 2 H existe i 2 f1; :::;mg tal que d1(f; gi) < " 3 : Usando (7.2) obtenemos que dX(f(y); f(z)) � dX(f(y); gi(y)) + dX(gi(y); gi(z)) + dX (gi(z); f(z)) < " si dK(y; z) < �: Esto prueba que H es equicontinuo. Supongamos ahora que H es equicontinuo y que H(z) es relativamente compacto en X para todo z 2 K: Queremos probar que H es relativamente compacto en C0(K;X): Como X es completo, C0(K;X) también lo es (ver Corolario 5.21). Por el Corol