7.6 basta entonces probar que H é totalmente acotado. Sea " > 0: Para cada z 2 K tomemos �z > 0 tal que, para toda f 2 H; dX (f(y); f(z)) < " 4 si dK (y; z) < �z: (7.3) Como K é compacto, existen z1; :::; zm 2 K tales que K � BK(z1; �z1) [ � � � [BK(zm; �zm) (7.4) y, como cada H(zi) é totalmente acotado, existen x1; :::; xk 2 X tales que H(z1) [ � � � [ H(zm) � BX(x1; " 4 ) [ � � � [BX(xk; " 4 ) (7.5) Consideremos o conjunto (�nito) S de todas as funções � : f1; :::;mg ! f1; :::; kg: Para cada � 2 S consideremos o conjunto H� := ff 2 H : f(zi) 2 BX(x�(i); " 4 ) 8i = 1; :::;mg: Se segue de (7.5) que, para cada f 2 H e cada i 2 f1; :::;mg; existe �(i) 2 f1; :::; kg tal que f(zi) 2 BX(x�(i); "4): En consecuencia, H � [�2S H�: (7.6) 124 7. COMPACIDAD EN ESPACIOS DE FUNCIONES Sean f; g 2 H� e seja z 2 K: Se segue de (7.4) que existe i 2 f1; :::;mg tal que dK(z; zi) < �zi e, em consequência, (7.3) implica que dX (h(z); h(zi)) < " 4 para toda h 2 H: Por tanto, dX(f(z); g(z)) � dX (f(z); f(zi)) + dX(f(zi); x�(i)) +dX(g(zi); x�(i)) + dX (g(z); g(zi)) < ": Tomando o máximo sobre toda z 2 K concluímos que d1(f; g) < " para todas f; g 2 H�: Em consequência, para qualquer escolha de g� 2 H�; se cumpre que H� � B1(g�; "): (7.7) De (7.6) e (7.7) se segue que H é totalmente acotado. Recordemos que H é um subconjunto acotado de C0(K;Rn) se existem f0 2 H e C > 0 tais que kf � f0k1 := m�axz2K kf(z)� f0(z)k � C 8f 2 H (ver De�nición 4.6). O teorema de Arzelà-Ascoli permite caracterizar a os subconjuntos relativamente compactos de C0(K;Rn) como segue. Corolario 7.10 Sea K um espaço métrico compacto. Um subconjunto H de C0(K;Rn) é relativamente compacto em C0(K;Rn) se e somente se H é equicontínuo e acotado em C0(K;Rn): Demostração: Sea H um subconjunto relativamente compacto em C0(K;Rn): Por el Teorema 7.9, H é equicontínuo e, por la Proposición 4.7, la cerradura de H es acotada em C0(K;Rn): Em consequência, H é acotado em C0(K;Rn): Inversamente, supongamos que H é equicontínuo e acotado em C0(K;Rn): Entonces existem f0 2 H e C > 0 tais que kf � f0k1 := m�axz2K kf(z)� f0(z)k � C 8f 2 H: Em consequência, H(z) está acotado em Rn para todo z 2 K e, por el teorema de Heine- Borel (ver Teorema 4.13), H(z) é relativamente compacto em Rn para todo z 2 K: El Teorema 7.9 asegura entonces que H é relativamente compacto em C0(K;Rn): Daremos a continuación una primera aplicación interesante de este resultado. Re- querimos la siguiente de�nición. 7.2. EL TEOREMA DE ARZELÀ-ASCOLI. 125 De�nición 7.11 Una función lineal T : V ! W entre espacios de Banach se llama un operador compacto si, para toda sucesión acotada (vk) en V; la sucesión (Tvk) contiene una subsucesión convergente en W: Proposición 7.12 Sea K : [a; b] � [a; b] ! R una función continua. El operador de Volterra V : C0[a; b]! C0[a; b] dado por (Vf)(x) := Z x a K(x; y)f(y)dy es un operador compacto. Demostración: Sea (fk) una sucesión em C0[a; b] tal que kfkk1 � c para algún c 2 R: Entonces, j(Vfk)(x)j � Z x a jK(x; y)j jfk(y)j dy � (b� a) kKk1 kfkk1 � (b� a) kKk1 c para todo x 2 [a; b] y todo k 2 N: Por tanto, kVfkk1 � (b�a) kKk1 c para todo k 2 N, es decir, H := fVfk : k 2 Ng es acotado em C0[a; b]:Más aún, como K es uniformemente continua, para cada " > 0 existe �1 > 0 tal que jK(x1; y1)�K(x2; y2)j < " 2(b� a)c si k(x1; y1)� (x2; y2)k < �1: En consecuencia, si jx1 � x2j < � := m��nf�1; " 2kKk1c g y x1 � x2; se tiene que j(Vfk) (x1)� (Vfk) (x2)j = ����Z x1 a (K(x1; y)�K(x2; y))fk(y)dy � Z x2 x1 K(x2; y)fk(y)dy ���� � Z x1 a jK(x1; y)�K(x2; y)j jfk(y)j dy + Z x2 x1 jK(x2; y)j jfk(y)j dy < (b� a) " 2(b� a)c c+ " 2 kKk1 c kKk1 c = "; para todo k 2 N: Esto prueba que H é equicontínuo. Por el Corolario 7.10, H é relativamente compacto em C0[a; b] y, en consecuencia, (Vfk) contiene una subsucesión convergente em C0[a; b]: Esta proposición tiene consecuencias importantes, como la que veremos en la Sección ??. A continuación daremos otras dos aplicaciones interesantes del teorema de Arzelà- Ascoli. 7.3. El problema de Cauchy Sean um subconjunto abierto de Rn, � : (a; b) � ! Rn una función continua, t0 2 (a; b) y x0 2 : En la Sección 6.4 probamos que el problema de Cauchy� u0 = �(t; u); u(t0) = x0: tiene una única solución en um intervalo [t0 � �; t0 + �] si el campo vectorial � é lo- calmente Lipschitz continuo em la segunda variable (ver Teorema 6.19). Usaremos el teorema de Arzelà-Ascoli para probar que basta con que el campo vectorial sea con- tinuo para que este problema tenga solución. En este caso, sin embargo, la solución no necesariamente es única (ver Ejercicio 6.38). Fijemos r > 0 tal que [t0 � r; t0 + r] � (a; b) y �B(x0; r) � (7.8) y consideremos o conjunto K := f(t; x) 2 R� Rn : jt� t0j � r; kx� x0k � rg: Sea M > 0 tal que M > m�ax (t;x)2K k�(t; x)k ; y sea � := m��nfr; r M g: Empezaremos demostrando que o problema de Cauchy tem soluções aproximadas. Lema 7.13 Dada " > 0 existe u" 2 C0([t0 � �; t0 + �] ;Rn) con las siguientes propiedades: (i) u"(t0) = x0. (ii) ku"(t)� x0k � r para todo t 2 [t0 � �; t0 + �] : (iii) ku"(t)� u"(s)k �M jt� sj si s; t 2 [t0 � �; t0 + �] : (iv) Existe um subconjunto �nito F" de (t0 � �; t0 + �) tal que u" é continuamente diferenciable em (t0 � �; t0 + �)r F"; y ku0"(t)� �(t; u"(t))k < " 8t 2 (t0 � �; t0 + �)r F": Demostração: Como � é uniformemente continua em K, existe > 0 tal que, para cualesquiera (s; x); (t; y) 2 K; k�(s; x)� �(t; y)k � " si js� tj � ; kx� yk � : (7.9) Subdividimos o intervalo [t0 � �