Consideraciones generales A lo largo de cada una de las unidades realizamos tanto una revisión teórica de los conceptos seleccionados y sus propi...

Consideraciones generales A lo largo de cada una de las unidades realizamos tanto una revisión teórica de los conceptos seleccionados y sus propiedades, como también algunas preguntas que invitan a reflexionar sobre los contenidos desarrollados. Cada unidad finaliza con una serie de actividades y problemas para aplicar y repensar lo estudiado. Una vez desarrolladas todas las unidades teórico-prácticas, presentamos un apéndice destinado a aquellos que deseen profundizar sobre algunos de los conceptos presentados. Finalizamos estas notas con las respuestas a todas las preguntas y actividades planteadas. Mencionamos a continuación algunos conceptos y observaciones generales que irán surgiendo de forma particular en las distintas unidades de estas notas. Demostraciones y contraejemplos En matemática, cada vez que enunciamos una nueva propiedad de los conceptos que esta- mos estudiando debemos demostrarla (probarla), la demostración es la que le da validez a la propiedad. Para demostrar que una afirmación es verdadera no alcanza con mostrar algunos ejemplos que la cumplan, hay que probarla para todos los casos posibles buscando alguna estrategia de demostración. En estas notas daremos las demostraciones de algunas de las propiedades que enunciemos, aquellas que además nos permitan mostrar de manera sencilla las formas más habituales de demostración en matemática. Dos formas de probar una afirmación son las siguientes. Una opción es realizar una de- mostración directa, a partir de algo conocido (hipótesis) y aplicando propiedades que son verdaderas (es decir, que ya fueron demostradas) llegar a verificar la nueva propiedad. Esta es- trategia es la que se usa en la Unidad 1 cuando, luego de definir la distancia entre dos números reales, se demuestra una de sus propiedades. Otra forma muy común de demostración, es la que se conoce como demostración por el absurdo. En este caso se supone que la afirmación que queremos probar es falsa y luego, aplicando propiedades ya conocidas, obtenemos una afir- mación absurda. De esta forma se concluye que la afirmación inicial no pod́ıa ser falsa. Un ejemplo de demostración por el absurdo se presenta en la Unidad 2, en la sección en que se estudian las inecuaciones. Alĺı esta técnica es utilizada para demostrar una propiedad de las desigualdades. Por otro lado, cuando una afirmación es falsa, es suficiente mostrar un ejemplo para la cual no se verifique. A estos ejemplos que permiten refutar una afirmación se los llama contra- ejemplos. No siempre es posible encontrar un contraejemplo, pero en la mayoŕıa de los casos que se estudian en estas notas se podrá recurrir a esta estrategia. En la Unidad 1, luego de presentar las reglas de signo para la multiplicación, se utilizan estas ideas para mostrar que no existe una regla de signo para la suma. Resolución de problemas y unidades de medida En general al modelar problemas los distintos valores involucrados (coeficientes y variables) tienen asociadas unidades de medida. En estas notas no vamos a estudiar este aspecto de manera rigurosa, solo indicaremos en algunos casos las unidades de medida al inicio del problema y al momento de dar las respuestas a las preguntas planteadas. También, al trabajar con figuras geométricas en el plano cartesiano (como por ejemplo, el triángulo que determinan tres puntos dados no alineados) podemos estar interesados en calcular su área o su peŕımetro para lo cual necesitamos una unidad de medida. Dado que en el plano cartesiano no tenemos una unidad de medida particular, cuando la necesitemos vamos a usar una unidad de medida genérica la cual indicamos u.m. Bibliograf́ıa y textos de apoyo Los siguientes libros pueden ser útiles como material de consulta de las distintas unidades. Estos ejemplares se encuentran en la Biblioteca Central de la Universidad Nacional del Sur. Algunos ejemplos y ejercicios de estas notas están inspirados en otros que aparecen en esta bibliograf́ıa. � STEWART, J. y REDLIN, L. (2007). Precálculo: matemáticas para el cálculo (5ta ed.). México D. F., México: Cengage Learning. � LARSON, R. (2012). Precálculo (8va ed.). México D. F., México: Cengage Learning. � FAIRES, J. D. y DEFRANZA, J. (2001). Precálculo (2da ed.) México D. F., México: Thomson Learning. Además, sugerimos consultar también las notas y ejercicios de los cursos de nivelación de años anteriores, aśı como sus exámenes parciales y finales. Varias de las actividades propues- tas en estas notas fueron tomadas de la “Gúıa de Ejercicios” del Curso de Nivelación 2015. Este material se encuentra publicado en la página web del Departamento de Matemática (www.matematica.uns.edu.ar) en la sección Ingresantes del Menú Principal. Notación A continuación presentamos algunos de los śımbolos matemáticos usados a lo largo de estas notas, indicando su significado. La definición, interpretación y uso de cada uno de ellos se explicará más detalladamente a medida que los mismos sean utilizados a lo largo del texto. Conjuntos numéricos N conjunto de los números naturales Z conjunto de los números enteros Q conjunto de los números racionales I conjunto de los números irracionales R conjunto de los números reales R+ conjunto de los números reales positivos R− conjunto de los números reales negativos R2 plano cartesiano; conjunto de los pares ordenados (x, y), donde x, y son números reales. ii Relaciones entre conjuntos numéricos y sus elementos > mayor que > mayor o igual que < menor que 6 menor o igual que ∈ pertenece /∈ no pertenece ∪ unión ∩ intersección : tal que ∅ conjunto vaćıo Operaciones y funciones ' aproximado | | según el contexto, estas barras pueden indicar: |a| valor absoluto del número a |AB| medida del segmento AB d(a, b) distancia entre a y b ∆ discriminante de la ecuación cuadrática f : A→ B función f definida de A en B, se lee “f de A en B” f(a) función f evaluada en el elemento a, se lee “f en a” Dom (f) dominio de la función f Im (f) imagen de la función f f ◦ g composición entre las funciones f y g, se lee “f compuesta con g” Otros śımbolos (a, b) dependiendo el contexto, esta notación puede indicar un intervalo o un punto en el plano, se aclara debidamente en cada situación =⇒ implica ⇐⇒ si, y solo si u.m. unidad de medida iii Fórmulas geométricas A continuación recordamos las fórmulas de área y peŕımetro de algunas figuras geométricas, que luego utilizaremos a