Módulo Nº 2 Números Naturales Os números naturais surgem por necessidade do homem de contar. 1, 2, 3, 4,... recebem o nome de números naturais e o conjunto desses números é simbolizado por N. Então:  ,...1,,...,3,2,1  nnN Se a N se incorpora o zero, recebe o nome de conjunto de números naturais ampliado e é simbolizado:  ,...1,,...,3,2,1,00  nnN. Ou seja  00  NN Números Inteiros Para que a subtração seja sempre possível, cria-se o conjunto dos números negativos. O conjunto formado pelos números naturais ou inteiros positivos, o zero e os inteiros negativos é denominado conjunto de números inteiros e é designado por Z, que é uma ampliação dos números naturais. Ou seja:        ,...3,2,1,0,1,2,3...,,...3,2,1,0,1,2,3...,1,2,3...,0  NZ Um número inteiro é definido por um número natural e um sinal. Exemplo: 5 ; 5  O número natural é chamado de valor absoluto do número inteiro. +5 e –5 têm o mesmo valor absoluto e sinal diferente. Representamos assim: 55  se lê “valor absoluto” de +5 é igual a 5. 55  se lê “valor absoluto” de -5 é igual a 5. Dois números de mesmo valor absoluto e sinal diferente são ditos opostos. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS O conjunto dos números inteiros é fechado em relação às operações de adição, multiplicação e subtração. Adição Se os números têm o mesmo sinal (ambos são positivos ou ambos são negativos), somamos seus valores absolutos e à soma colocamos o sinal que os números têm. Exemplos: 1064  1064  Se os dois números têm sinais diferentes, do maior valor absoluto subtraímos o de menor valor absoluto, e ao resultado colocamos o sinal do número de maior valor absoluto. Exemplos: 426  426  Diferença Subtrair a-b não é outra coisa senão somar ao inteiro a o oposto do inteiro b, ou seja, calcular a soma a+(-b). Exemplos: 3)2(525  352)5(2  3)5(252  325)2(5  Produto Ao multiplicar dois fatores de igual sinal (ambos positivos ou ambos negativos), o resultado é positivo e igual ao produto de seus valores absolutos. Exemplos:    306.5  ,    306.5  Se os dois fatores têm sinais diferentes (um é positivo e o outro negativo), o resultado da multiplicação é negativo com valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores. Exemplos:    306.5  ,    306.5  Regra dos Sinais No caso de haver um produto de vários fatores, colocamos o sinal de acordo com a regra dos sinais e multiplicamos os valores absolutos dos números dados.        1200452235  Regra dos Sinais     Cociente Para dividir números inteiros, dividimos seus valores absolutos e ao quociente colocamos o sinal que lhe corresponde, segundo a “regra dos sinais”. A “regra dos sinais” é análoga à do produto. Exemplos:     56:30  ,     56:30      56:30  ,     56:30  Números Racionais Um número racional pode ser definido como o quociente entre dois números inteiros a e b com 0b. Este quociente é indicado a:b ou como fração: Ao conjunto desses números representamos com Q. Observações: 1- Todo número inteiro “a” é um número racional com denominador igual a 1. Exemplos: a) 1 5 5  b) 1 11 11  2- Todo número racional em que o numerador é múltiplo do denominador é um número inteiro. Exemplos: a) 7 2 14  b) 5 5 25  3- Nem todo número racional é um número inteiro. Q 2 3 e Z 2 3 Estes números são chamados fracionários puros, e são denotados com F. Ou seja, os números fracionários puros são aqueles que podem ser escritos como o quociente de dois números inteiros distintos de zero, de modo que o dividendo não seja múltiplo do divisor. Das observações 1, 2 e 3 concluímos que o conjunto dos números racionais Q é o conjunto formado pelos números inteiros e os números fracionários puros, ou seja: FZQ  4- Os números racionais costumam ser expressos como números decimais ou expressões decimais, exatas ou periódicas. Exemplos: a) 9,0 10 9  b) 3,1...33,1 3 4   c) 61,0...1666,0 6 1   A expressão a) é uma expressão exata porque tem um número finito de algarismos decimais. As expressões b) e c) são periódicas porque os números 3 e 6 se repetem indefinidamente. Aos números que se repetem indefinidamente chamamos período e os indicamos com um arco. As expressões periódicas por sua vez são classificadas em puras e mistas. Expressões periódicas puras: nestas o período aparece imediatamente após a vírgula como na expressão b). Nas expressões periódicas mistas, há uma parte não periódica após a vírgula e depois aparece o período, como na expressão c. Números Irracionais O conjunto dos números racionais é um conjunto denso, pois entre dois racionais quaisquer, existem infinitos racionais. No entanto, os números racionais não abrangem a totalidade dos números nem são suficientes para a resolução de certos problemas de aritmética. Existem números que não podem ser representados como o quociente b a com a e Zb e 0b, ou seja, não são racionais. Estes números podem ser escritos como uma expressão decimal de infinitos algarismos não periódicos e são chamados números irracionais. O conjunto