Imagine una situación en la que ocho personas, numeradas consecutivamente del 1 al 8, están dispuestos en un círculo. Comenzando con la persona #1,...

Imagine una situación en la que ocho personas, numeradas consecutivamente del 1 al 8, están dispuestos en un círculo. Comenzando con la persona #1, cada dos personas en el círculo es eliminada. El proceso de eliminación continúa hasta que sólo quede una persona. En la primera ronda las personas numerados con 2, 4, 6 y 8 son eliminados, en la segunda ronda las personas numeradas con 3 y 7 son eliminadas y en la tercera ronda la persona #5 se elimina. Después de la tercera ronda sólo la persona #1 permanece.

a. Dado un conjunto de dieciséis personas dispuestas en círculo y numeradas, consecutivamente del 1 al 16, liste los números de las personas que son eliminados en cada ronda, si se elimina una persona cada dos personas y el proceso de eliminación continua hasta que sólo queda una persona. Supongamos que el punto de partida es la persona # 1.
b. Utilice la inducción matemática para demostrar que para todo entero n 1, dado cualquier conjunto de 2n personas dispuestas en un círculo y numeradas consecutivamente del 1 al 2n, si se empieza con la persona #1 y repetidamente alrededor del círculo elimina sucesivamente cada segunda persona, a la larga sólo se mantendrá la persona #1.
c. Utilice el resultado del inciso b) para demostrar que para cualquier n números enteros no negativos y m con 2n 2n m 2n 1, si r 2n m, entonces, dado cualquier conjunto de personas dispuestas r en un círculo y numeradas consecutivamente del 1 al r, si se inicia con la persona #1 y se repite varias veces alrededor del círculo eliminando sucesivamente cada dos personas, a la larga la única persona que se mantiene es la #(2m 1).