1 y F(4) 3 1. Pase a 2 2 ya que 2 2 1 1 , que fue contado primero. Después de que se establece F(5) 1 3 , F(6) 1 4 , F(7) 2 3, F(8) 32 , ...

1 y F(4) 3
1. Pase a 2
2 ya que 2
2 1
1
,
que fue contado primero. Después de que se establece F(5) 1
3
, F(6) 1
4
, F(7) 2
3,
F(8) 32
, F(9) 41 y F(10) 51. Después se salta a 42
, 33 y 24 (ya que 42 21
, 33 11 y 24 12) y se
hace F(11) 15
. Continuando de esta manera, se define F(n) para cada entero positivo n.
Observe que cada número racional positivo aparece en algún lugar en la cuadrícula y
el procedimiento del conteo se configura para que cada punto de la cuadrícula se alcance
finalmente. Por tanto, la función F es sobreyectiva. También, omitiendo los números que
se saltan porque ya han sido contados asegura que no hay número que se cuente dos veces.
Por tanto, F es uno a uno. En consecuencia, F es una función de Z a Q que es inyectiva
y sobreyectiva y por tanto Q es infinito contable y por tanto contable.
En 1874, el matemático alemán Georg Cantor logró éxito en la búsqueda de un mayor
infinito, mostrando que el conjunto de todos los números reales es no contable. Sin embargo,
su método de demostración es un poco complicado. Damos una demostración de la inconta-
bilidad del conjunto de todos los números reales entre 0 y 1 usando una técnica más simple
introducida por Cantor en 1891 y ahora se llama el proceso de Diagonalización de Cantor.
En el transcurso de los años, esta técnica y variaciones se han utilizado acerca del mismo para
establecer una serie de importantes resultados en lógica y la teoría de la computación.
Antes de establecer y demostrar el teorema de Cantor, observamos que cada número real,
es una medida de la posición en la recta numérica se puede representar por una expansión
decimal de la forma
a0.a1a2a3 . . . ,
donde a0 es un entero (positivo, negativo o cero) y para cada i 1, ai es un entero entre
0 y 9.
Esta manera de pensar acerca de los números se desarrolló durante varios siglos por
los matemáticos en los mundos chinos, hindúes e islámicos, que culminó con la labor de
Ghiyāth al-Dı̄n Jamshı̄d al-Kashi en 1427. En Europa fue donde primero se formuló
claramente y se promovió con éxito por el matemático flamenco Simon Stevin en 1585.
Mostramos el concepto con un ejemplo.
Al Kashi
(1380-1429)
Simon Stevin
(1548-1620)
B
et
tm
an
n/
C
O
R
B
IS

434 Capítulo 7 Funciones
Considere el punto P en la figura 7.4.4. La figura 7.4.4a) muestra a P situado entre
1 y 2. Cuando el intervalo entre 1 y 2 se divide en diez subintervalos iguales (vea la figura
7.4.4b)) P se ve que se encuentra entre 1.6 y 1.7. Si el intervalo entre 1.6 y 1.7 fuese dividido
en diez subintervalos iguales (vea la figura 7.4.4c)), P se ve que se encuentra entre 1.62 y
1.63 pero que está más cerca de 1.62 que de 1.63. Por lo que los tres primeros dígitos de
la expansión decimal de P son 1.62.
–3 –1–2 0 1 2 3
1.0
1.60 1.62 1.63 1.65 1.70
1.5 1.6 1.7 2.0
P
P
P
b)
a)
c)
Figura 7.4.4
Suponiendo que cualquier intervalo de números reales, sin importar qué tan pequeño, se
puede dividir en diez subintervalos iguales, el proceso de obtención de dígitos adicionales
en la expansión decimal para P puede, en teoría, repetirse indefinidamente. Si en cualquier
momento P se ve como un punto de subdivisión, entonces todos los dígitos adicionales en
la expansión se pueden tomar iguales a 0. Si no, entonces el proceso da una expansión con
un número infinito de dígitos.
La representación decimal resultante para P es única salvo para los números que ter-
minan con repetición infinita del 9 o del 0. Por ejemplo (vea el ejercicio 25 al final de esta
sección),
0.199999 . . . 0.200000 . . . .
Concordamos en expresar cualquier decimal de forma que termine con todos los 0 de modo
que tendremos una representación única para cada número real.
Teorema 7.4.2 (Cantor)
El conjunto de todos los números reales entre 0 y 1 es no contable.
Demostración (por contradicción):
Suponga que el conjunto de todos los números reales entre 0 y 1 es contable. Entonces
las representaciones decimales de estos números se pueden escribir en una lista como
sigue:
0.a11a12a13 · · · a1n · · ·
0.a21a22a23 · · · a2n · · ·
0.a31a32a33 · · · a3n · · ·
...
0.an1an2an3 · · · ann · · ·
...
[Deduciremos una contradicción, al demostrar que existe un número entre 0 y 1 que
no aparece en esta lista.]
Para cada par de números enteros positivos, i y j, el j-ésimo dígito decimal del
i-ésimo número en la lista es ai j. En particular, el primer dígito decimal del primer